§ 2. Изображение плоских фигур в параллельной проекции

Определения и обозначения

Параллельная проекция — способ получения изображения фигуры на плоскости с помощью прямых, параллельных одному направлению. Это направление выбирают заранее, а затем одинаково используют для всех точек фигуры. Так можно перенести плоскую фигуру на другую плоскость и сохранить некоторые важные геометрические связи. Проекция служит способом построения чертежа, а не обязательно точной копией исходной фигуры.

Проектирующая прямая — прямая заданного направления, проходящая через точку исходной фигуры; её пересечение с плоскостью проекций задаёт изображение этой точки. Через каждую точку проводят именно прямую выбранного направления, а не произвольную линию. Это позволяет построить все изображения по одному правилу. Если проектирующая прямая параллельна плоскости проекций, пересечения может не быть.

Плоскость проекций — плоскость, на которой получают изображение исходной фигуры. Её положение вместе с направлением проектирования определяет, куда попадут изображения точек. Этот объект нужен, чтобы точно задать поверхность, на которой строится чертёж. Обычно плоскость проекций изображают на рисунке как область, а пересечения проектирующих прямых с ней отмечают точками.

Изображение плоской фигуры — множество изображений всех её точек на плоскости проекций. Значит, изображение отрезка строят по изображениям его точек, а не выбирают произвольную линию похожей формы. Это определение помогает понять, почему проекция может менять форму фигуры. При этом некоторые связи между точками сохраняются и позволяют делать выводы о первоначальной фигуре.

Как это устроено

Чтобы построить изображение точки, через неё проводят проектирующую прямую выбранного направления и находят её пересечение с плоскостью проекций. Пересечение и есть изображение точки, потому что оно одновременно лежит на плоскости проекций и на прямой, связывающей исходную точку с её проекцией. Одно общее направление для всех таких прямых делает построение параллельной проекцией. Если прямая не пересекает плоскость, изображение в обычном смысле этим способом получить нельзя.

Проекция прямой получается из проекций всех её точек. Проектирующие прямые, проведённые через точки исходной прямой, лежат в одной плоскости: их направления одинаковы, а сами они пересекают исходную прямую. Пересечение этой плоскости с плоскостью проекций обычно является прямой, поэтому и точки исходной прямой переходят в точки одной прямой. Если исходная прямая параллельна направлению проектирования, все её проектирующие прямые совпадают, и проекция вырождается в точку.

Если точки лежали на одной прямой, их изображения тоже лежат на одной прямой; в особом случае они могут совпасть. Причина в том, что образ исходной прямой — прямая или точка. Если две исходные прямые параллельны и лежат в одной плоскости, они имеют общее направление, а проецирующие их плоскости тоже параллельны или совпадают. Поэтому изображения таких прямых параллельны или совпадают. Так сохраняются коллинеарность и параллельность, но не обязательно расстояние между прямыми.

На одной исходной прямой проекция изменяет отрезки согласованно: их длины умножаются на один и тот же коэффициент, если изображение прямой не вырождается в точку. Поэтому отношение длин двух отрезков на этой прямой остаётся прежним. В частности, если точка делила отрезок пополам, после проекции она делит изображение пополам. Это позволяет строить середины и точки, делящие отрезки в заданном отношении, даже если чертёж изменил масштаб.

Длины отрезков, величины углов и перпендикулярность при проекции обычно меняются, потому что плоскость исходной фигуры может быть наклонена к плоскости проекций. Разные направления тогда сокращаются неодинаково, а угол между ними меняется. Следовательно, похожий на чертеже угол не доказывает, что он имел такую же величину в исходной фигуре. Окружность обычно переходит в эллипс: её точки проецируются с разным изменением по направлениям; окружностью она остаётся лишь при специальных условиях.

Что сохраняется при параллельной проекции

Таблица помогает понять, какие выводы можно делать по чертежу, а какие требуют дополнительных данных. Сначала найдите в ней рассматриваемый объект или свойство, затем проверьте результат проекции и особые случаи. Например, середины и отношения на одной прямой можно использовать в доказательстве, а длины и углы нельзя считать неизменными.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке заданы плоскость проекций, направление проектирования и точки A, B, C. Построить изображения этих точек и отрезка AB. Идея решения — применить одно направление к каждой точке, не подбирая его отдельно. После построения концов отрезка остаётся соединить их на плоскости проекций.

1. Через A, B и C проведите прямые, параллельные заданному направлению проектирования.
2. Обозначьте пересечения этих прямых с плоскостью проекций как A′, B′ и C′.
3. Соедините A′ и B′ отрезком. Он является изображением AB, поскольку все точки AB проецируются на прямую, содержащую A′B′.

Ответ: изображения точек — A′, B′, C′, а изображение отрезка AB — A′B′. Задача 2. ABCD — параллелограмм. Построить его параллельную проекцию и доказать, что изображение также является параллелограммом. Нужно проверить не равенство сторон, которое может нарушиться, а параллельность противоположных сторон.

1. Постройте изображения вершин A′, B′, C′, D′ проектирующими прямыми одного направления.
2. Так как A, B, C, D лежат в одной плоскости, их изображения лежат на прямых — проекциях сторон параллелограмма.
3. Из AB ∥ CD следует A′B′ ∥ C′D′, а из AD ∥ BC следует A′D′ ∥ B′C′; стороны, лежащие на совпавших проекциях, рассматриваются как особый случай.

Ответ: при невырожденном изображении A′B′C′D′ — параллелограмм, потому что обе пары его противоположных сторон параллельны. Задача 3. M делит AB в отношении AM:MB = 2:3, длина A′B′ равна 25 см. Найти A′M′ и M′B′. Отношение частей сохраняется, поэтому проекция делится на пять равных долей, из которых первая часть занимает две, а вторая три.

1. Сложите части отношения: 2 + 3 = 5.
2. Найдите длину одной доли: 25 : 5 = 5 см.
3. Вычислите части: A′M′ = 2 · 5 = 10 см, M′B′ = 3 · 5 = 15 см.

Ответ: A′M′ = 10 см, M′B′ = 15 см; проверка даёт 10 + 15 = 25 см.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Проектирующие прямые проводят в разных направлениях, принимая направление проекции за произвольное. Так можно случайно построить другое преобразование, а не параллельную проекцию. Перед построением проверьте, что каждая проектирующая прямая параллельна одному и тому же заданному направлению.

Ошибка 2. Считают, что изображение сохраняет длины и углы. Это возникает из-за привычки воспринимать чертёж как уменьшенную копию фигуры, хотя наклонная проекция меняет масштаб по направлениям. Проверьте вывод: отношения отрезков на одной прямой сохраняются, но длины, углы и перпендикулярность в общем случае — нет.

Ошибка 3. Окружность изображают окружностью без дополнительных условий. Причина — желание сохранить привычный вид фигуры, однако при наклонной проекции направления в её плоскости меняются неодинаково. Проверьте положение плоскостей: если условия для сохранения окружности не заданы, обычно нужно ожидать эллипс.

Ошибка 4. Свойство параллельности переносят на любые прямые, в том числе пересекающиеся или скрещивающиеся. Параллельность относится к прямым, лежащим в одной плоскости, а скрещивающиеся не имеют общей плоскости. Перед использованием свойства проверьте взаимное положение исходных прямых и лишь затем применяйте вывод о параллельных изображениях.

Связь с другими темами

Для работы с проекцией нужны определения прямой, плоскости и параллельных прямых, а также понимание отношений отрезков и середины. Эти знания позволяют строить изображение и обосновывать, какие свойства фигуры на нём сохраняются. Далее параллельная проекция пригодится при изображении пространственных тел, построении сечений многогранников и оформлении чертежей. Она также связана с аксонометрическими изображениями и начертательной геометрией, где по чертежу описывают пространственные объекты.

Что запомнить

• Проектирующие прямые при параллельной проекции параллельны одному направлению.
• Изображение точки получают пересечением проектирующей прямой с плоскостью проекций.
• Прямая обычно изображается прямой, а отрезок — отрезком.
• Коллинеарность, параллельность и отношение отрезков на одной прямой сохраняются.
• Середина отрезка переходит в середину его изображения.
• Длины, углы и перпендикулярность в общем случае не сохраняются.