"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Чтобы передать пространственную фигуру на плоском чертеже, строят её изображение — проекцию. Один из удобных способов — параллельное проектирование: все точки переносят по прямым одного направления. При этом сохраняются параллельность и отношения отрезков на одной прямой, но длины и углы обычно меняются. Поэтому окружность часто выглядит как эллипс, а многоугольник строят по проекциям вершин, соблюдая их порядок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Изображение геометрической фигуры — её чертёжное представление на плоскости. При построении нужно сохранить те свойства, которые важны для задачи: например, принадлежность точек прямым и параллельность. Это позволяет читать чертёж как модель фигуры, а не как случайный рисунок.
Параллельное проектирование — способ построения изображения, при котором точки фигуры переносят по параллельным проецирующим прямым. Иными словами, для всех точек выбирают одно направление переноса. Такой способ удобен тем, что позволяет единообразно изобразить пространственные объекты.
Проекция точки — точка пересечения проецирующей прямой, проведённой через исходную точку, с плоскостью изображения. Для каждой точки фигуры проводят прямую выбранного направления и отмечают место её встречи с плоскостью. Это основа построения проекций отрезков и многоугольников.
Изображение окружности — эллипс, получаемый при параллельном проектировании окружности, лежащей в плоскости, не параллельной плоскости изображения. Эллипс — замкнутая овальная кривая, у которой размеры в разных направлениях различаются. Это определение помогает не путать форму исходной окружности с её видом на чертеже.
Пространственную фигуру нельзя целиком перенести на плоскость без изменения её вида: при взгляде под углом некоторые направления кажутся короче, а углы — другими. Параллельное проектирование даёт единое правило для всех точек и потому помогает строить согласованный чертёж. Оно сохраняет часть отношений между элементами, хотя не воспроизводит фигуру во всех измерениях. На этом различии основано чтение изображений в геометрии.
Чтобы изобразить отрезок, достаточно спроецировать его концы: проекция отрезка соединяет проекции этих концов. Для многоугольника таким же способом находят изображения всех вершин, а затем соединяют их в том порядке, в каком они идут по контуру. Порядок нужен, чтобы не перепутать стороны и не получить ломаную с другим обходом. Диагональ также строят как отрезок между проекциями её концов.
Параллельность сохраняется, потому что исходные параллельные прямые имеют одно направление и при переносе по одному направлению проецирования их образы остаются параллельными. Если несколько отрезков лежат на одной прямой, их длины изменяются с одним и тем же коэффициентом, поэтому отношение длин не меняется. Это позволяет использовать пропорции на чертеже, когда рассматриваемые отрезки принадлежат одной прямой. У непараллельных отрезков такого общего правила для углов и длин нет.
Окружность лежит в своей плоскости, и при наклоне этой плоскости к плоскости чертежа направления внутри окружности сокращаются неодинаково. Поэтому её проекция обычно имеет вид эллипса, а не окружности. Для построения отмечают проекцию центра, затем проецируют точки на диаметрах и другие выбранные точки окружности. Полученные характерные точки соединяют плавной линией, сохраняя симметрию образа.
Если многоугольник находится в плоскости, параллельной плоскости изображения, параллельное проектирование переносит его без изменения формы и размеров. Причина в том, что все точки такой плоскости смещаются к плоскости чертежа одинаково. Значит, стороны, углы и длины многоугольника на изображении соответствуют исходным. Это частный случай, поэтому его нельзя переносить на фигуры в произвольно наклонённых плоскостях.
| Объект или свойство | Что происходит при проектировании | Как учитывать при построении |
|---|---|---|
| Точка | Переходит в точку пересечения проецирующей прямой с плоскостью изображения. | Провести через неё прямую выбранного направления. |
| Отрезок | Его концы переходят в свои проекции, которые соединяют отрезком. | Проецировать оба конца. |
| Параллельные прямые и отрезки | Остаются параллельными при невырожденном проектировании. | Сохранять параллельность на чертеже. |
| Отношение отрезков на одной прямой | Сохраняется. | Можно пользоваться пропорциями для таких отрезков. |
| Углы и длины | В общем случае изменяются. | Не определять исходные значения по виду чертежа. |
| Окружность | Обычно изображается эллипсом. | Намечать центр и характерные точки. |
| Многоугольник | Строится по проекциям вершин, соединённым в исходном порядке. | Соблюдать обход контура и изображать нужные диагонали. |
Сначала определите, какие элементы фигуры нужно перенести, а затем проверьте, какие отношения между ними сохраняются. Таблица помогает не делать выводы о длинах и углах только по внешнему виду рисунка. Для отрезков на одной прямой отдельно учитывайте сохранение их отношения.
Условие. Построить изображение треугольника ABC, если заданы его вершины и направление проецирующих прямых. Нужно получить проекции всех трёх вершин на плоскость чертежа. Важно не менять порядок обхода треугольника.
Ответ. Треугольник A′B′C′ — искомое изображение. Проверяем, что каждая его вершина получена проецированием соответствующей исходной точки. По длинам сторон и углам A′B′C′ нельзя без дополнительных условий восстановить значения для ABC.
Условие. Изобразить окружность с заданными центром и радиусом, если она лежит в плоскости, наклонённой к плоскости чертежа. При проецировании её форма обычно меняется, поэтому не следует сразу рисовать окружность с тем же радиусом на листе. Нужен эллиптический образ.
Ответ. Полученная кривая является изображением окружности. Характерные точки помогают задать её положение и вытянутость, но измеренные на рисунке оси не обязательно равны настоящим диаметрам исходной окружности.
Условие. Построить изображение многоугольника с проведёнными диагоналями и определить, какие исходные отношения его элементов сохраняются. Заданы вершины и соединения между ними. По виду проекции нельзя автоматически судить о равенстве сторон или величинах углов.
Ответ. Изображение строится по проекциям вершин и диагоналей. Из заданных отношений можно уверенно использовать параллельность и отношения отрезков на одной прямой. Остальные свойства нужно обосновывать отдельно, а не считывать с чертежа.
Считать, что окружность при любом положении изображается окружностью, — ошибка: при наклоне её плоскости к плоскости чертежа образ обычно становится эллипсом. Так думают, потому что ориентируются на привычный значок круга. Проверьте положение плоскостей: окружность без искажения получается только в частных случаях.
Измерять на чертеже длины и углы и принимать их за исходные значения нельзя, поскольку проектирование обычно меняет и то и другое. Ошибка возникает из-за того, что плоский рисунок выглядит как точная копия фигуры. Проверяйте, следует ли нужное равенство или величина из свойств проектирования, а не только из внешнего вида.
Если соединить спроецированные вершины не в исходном порядке, контур может изменить обход или превратиться в другую ломаную. Это часто происходит, когда точки подписывают после построения и путают их соответствия. Проверка проста: пройдите по сторонам исходного многоугольника и повторите тот же порядок для проекций.
Непараллельные отрезки не обязаны пересекаться после проецирования и не обязаны сохранять исходный угол. Ошибочно ожидать сохранения любых взаимных отношений, хотя проектирование гарантирует лишь некоторые из них. Сверьте вывод с перечнем свойств: параллельность сохраняется, а произвольные углы и взаимное расположение требуют отдельного обоснования.
Для работы с проекциями нужны понятия точки, прямой и плоскости, а также параллельности, окружности и многоугольника. При построении используются обычные навыки черчения и аккуратное обозначение соответствующих точек. Позже изображения фигур понадобятся в стереометрии, при чертежах пространственных тел и решении задач на сечения. Свойства проецирования помогают понять, какие отношения на плоском рисунке действительно отражают отношения в пространстве.
Почему окружность на чертеже часто выглядит как эллипс?
Если плоскость окружности наклонена к плоскости изображения, разные направления внутри неё передаются с разным изменением длины. Поэтому круглая форма обычно превращается в эллипс. При особом положении плоскостей изображение может остаться окружностью.
Какие свойства фигуры сохраняются при параллельном проектировании?
При невырожденном проектировании сохраняются параллельность прямых и отношение отрезков, лежащих на одной прямой. Также сохраняется порядок точек на прямой. Произвольные длины и углы обычно не сохраняются.
Можно ли по изображению определить настоящую длину отрезка?
Обычно нельзя: при проецировании длина может измениться. Настоящую длину можно считать по чертежу лишь тогда, когда известны дополнительные условия, например отрезок лежит в плоскости, параллельной плоскости изображения.
Как построить изображение многоугольника?
Нужно провести через каждую вершину проецирующую прямую одного направления и отметить её пересечение с плоскостью изображения. Затем соединить полученные точки в том же порядке, что и исходные вершины. Диагонали строят аналогично — соединяя проекции соответствующих вершин.
Когда окружность изображается окружностью, а не эллипсом?
Если окружность лежит в плоскости, параллельной плоскости изображения, её образ при параллельном проектировании сохраняет форму и размер. В частном случае проекции с масштабированием круг также может перейти в окружность. При обычном наклонном положении образ, как правило, является эллипсом.
2.1. Изображение окружности и многоугольников
