2.2. Изображение многоугольников, вписанных в окружность

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — способ получения изображения фигуры переносом её точек по параллельным проектирующим прямым на плоскость. Проектирующие прямые имеют одно направление, поэтому каждой исходной точке соответствует единственная точка на плоскости изображения. Этот способ позволяет изобразить пространственный объект на плоском чертеже.

Изображение фигуры — фигура, образованная проекциями всех её точек на плоскость изображения. Например, образ вершины — отдельная точка, а образ отрезка — обычно отрезок между образами его концов. Понятие нужно, чтобы отличать исходную фигуру от её чертежа.

Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Окружность называют описанной около этого многоугольника. Такое определение помогает связать свойства многоугольника со свойствами окружности.

Эллипс — образ окружности при общем параллельном проектировании на другую плоскость. В отличие от окружности, его радиусы в разных направлениях визуально могут быть различными. Поэтому эллипс используют как изображение окружности на наклонном чертеже.

Как это устроено

При проектировании через каждую вершину проводят проектирующую прямую в заданном направлении до пересечения с плоскостью изображения. Точка пересечения и есть образ вершины. Так получают образы всех вершин многоугольника, причём одна исходная вершина не смешивается с другой. После этого изображение можно строить уже на плоскости.

Сторона многоугольника является отрезком, соединяющим две вершины, поэтому её образ соединяет образы тех же концов. Проекция любой точки этого отрезка лежит на отрезке между проекциями концов, поскольку проектирование сохраняет принадлежность точек одной прямой. То же рассуждение относится к диагоналям. Если вершины соединить в другом порядке, получится уже другая фигура.

Окружность при наклонном проектировании обычно превращается в эллипс: направления на исходной плоскости изменяются неодинаково. Все точки исходной окружности переходят в точки эллипса, поэтому образ каждой вершины вписанного многоугольника лежит на этом эллипсе. Соединяя образы соседних вершин в исходном порядке, получают многоугольник, вписанный в эллипс.

Центр окружности является серединой любого диаметра. Параллельное проектирование сохраняет середины отрезков: если точка делит отрезок пополам, её образ делит образ отрезка пополам. Поэтому образ центра оказывается серединой каждого отрезка, соединяющего образы противоположных точек окружности. В частности, он является центром эллипса.

Проектирование не обязано сохранять расстояния между точками и величины углов. Поэтому равные стороны могут стать различными, прямые углы — косыми, а равенство углов многоугольника — незаметным на изображении. Правильный многоугольник также может выглядеть неправильным, хотя порядок его вершин и связь с описанной окружностью сохраняются.

Что сохраняется при изображении вписанного многоугольника

Таблицу удобно использовать как проверку построения: сначала ищут свойства, связанные с принадлежностью и порядком, а затем отдельно проверяют метрические свойства. Первые обычно сохраняются, а равенство длин, углов и перпендикулярность требуют осторожности. Если на чертеже сторона выглядит длиннее другой, это ещё не доказывает, что в исходной фигуре стороны были неравны.

Разбор задач

Задача 1. Изображение вписанного треугольника

Условие. Нужно построить изображение треугольника, вписанного в окружность, при параллельном проектировании на плоскость изображения. Образы его вершин обозначим A₁, B₁ и C₁. Требуется получить весь треугольник, а не только отдельные точки.

Решение. Сначала устанавливаем соответствие между исходными вершинами и их образами. Затем сохраняем порядок обхода вершин, потому что именно он задаёт стороны исходного треугольника.

1. Спроектировать вершины A, B и C и получить точки A₁, B₁ и C₁.
2. Соединить A₁ с B₁, B₁ с C₁ и C₁ с A₁.
3. Проверить, что каждая сторона соединяет образы соседних вершин, а не произвольные точки.

Ответ. Искомое изображение — треугольник A₁B₁C₁. Если исходные вершины лежали на окружности, то точки A₁, B₁ и C₁ лежат на образе этой окружности, то есть на эллипсе. Форма треугольника на рисунке не обязана сохранять равенство сторон и углов.

Задача 2. Четырёхугольник на изображённой окружности

Условие. На эллипсе отмечены образы четырёх вершин вписанного четырёхугольника: A₁, B₁, C₁ и D₁. Нужно построить его стороны и диагонали и назвать сохраняющиеся свойства. Порядок точек задан соответствием исходных вершин.

Решение. Стороны строятся по соседним вершинам, а диагонали — по противоположным. Нельзя соединять точки по принципу «как удобнее на рисунке», поскольку тогда изменится исходная структура четырёхугольника.

1. Соединить A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁ и D₁A₁ — это стороны.
2. Соединить A₁C₁ и B₁D₁ — это диагонали.
3. Указать, что сохраняются порядок вершин, принадлежность точек эллипсу и отношения принадлежности прямым, но не обязательно длины и углы.

Ответ. Получается четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ с диагоналями A₁C₁ и B₁D₁. Его вершины лежат на эллипсе, который является образом исходной окружности. Равенство сторон или диагоналей по виду чертежа утверждать нельзя.

Задача 3. Образы противоположных вершин шестиугольника

Условие. Нужно построить изображение правильного шестиугольника, вписанного в окружность, если заданы образ центра O₁ и три пары противоположных вершин. Требуется восстановить все вершины и соединить их в правильном порядке.

Решение. У правильного шестиугольника каждая пара противоположных вершин соединяется диаметром описанной окружности. Значит, центр является серединой каждого отрезка между образами такой пары. Этим свойством можно проверить заданные точки и понять их расположение.

1. Для каждой пары противоположных образов провести или мысленно рассмотреть отрезок, соединяющий их.
2. Проверить, что O₁ — середина каждого из трёх отрезков; полученные шесть точек являются образами вершин.
3. Расположить точки в порядке обхода эллипса и соединить соседние образы.

Ответ. Построенный шестиугольник является изображением исходного правильного шестиугольника и вписан в эллипс. На чертеже он может не быть правильным, потому что проектирование не сохраняет равенство сторон и углов. Сохранение середин позволяет надёжно определить пары противоположных вершин.

Типичные ошибки

Окружность изображают другой окружностью. Так делают, потому что в обычной геометрии окружность привычно рисуют циркулем. При наклонном проектировании она обычно становится эллипсом, поэтому нужно учитывать направление изображения и не требовать одинаковых радиусов.

Вершины соединяют не в исходном порядке. Ошибка возникает, когда ученик соединяет ближайшие на рисунке точки, не зная их соответствия. Проверка проста: выписать последовательность исходных вершин и повторить её для образов.

Считают обязательным сохранение равных сторон, углов и перпендикулярности. Причина — смешение параллельного проектирования с движением, при котором расстояния и углы сохраняются. Чтобы проверить себя, нужно спросить, относится ли свойство к принадлежности и серединам или к измерениям.

Полагают, что правильный многоугольник останется правильным. На чертеже правильный шестиугольник может иметь стороны разной видимой длины. Следует помнить: правильность относится к исходной фигуре, а её изображение сохраняет прежде всего порядок вершин и положение на образе окружности.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны свойства параллельного проектирования, понятие середины отрезка, параллельность и правила построения многоугольников. Эти знания объясняют, почему образы вершин можно соединять отрезками и почему центр определяется через середины. Без них трудно отличить сохраняющиеся свойства от изменяющихся.

Тема используется при изображении пространственных фигур и их сечений на плоскости. Когда тело пересекают плоскостью, окружность сечения нередко приходится показывать эллипсом. По этому эллипсу затем строят вписанные многоугольники и другие элементы чертежа.

Знания пригодятся при построении изображений окружностей, конусов, цилиндров и других тел. Основания конуса и цилиндра на наклонном рисунке обычно изображают эллипсами. Правила проектирования помогают сохранить наглядность и правильные связи между элементами фигуры.

Что запомнить

• При параллельном проектировании каждой точке соответствует её проекция.
• Вершины многоугольника проектируются в точки, а стороны и диагонали — в отрезки.
• Порядок вершин и принадлежность точек прямым сохраняются.
• Окружность обычно изображается эллипсом.
• Вписанный в окружность многоугольник изображается вписанным в эллипс.
• Центр окружности переходит в центр эллипса.
• Длины, углы и правильность фигуры при проектировании в общем случае не сохраняются.