"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Формулы планиметрии помогают находить длины, углы и площади фигур по известным данным. Для треугольника можно выбрать формулу по сторонам, высоте, углу или радиусу вписанной окружности; для окружности — по радиусу, диаметру или центральному углу. Теоремы косинусов и синусов позволяют связывать стороны и углы треугольника. Главное — определить, какие величины известны, подобрать формулу и проверить обозначения и единицы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, которую можно вычислить как половину произведения основания на соответствующую высоту: S = ½ah. Если известны две стороны a и b и угол γ между ними, используют S = ½ab sin γ. Ещё один способ — S = pr, где p — полупериметр, а r — радиус вписанной окружности. Эти записи позволяют выбирать вычисление по тем данным, которые известны в задаче.
Формула Герона находит площадь треугольника по трём сторонам: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c)/2. Полупериметр нужен, чтобы выразить площадь только через длины сторон, не находя заранее углы или высоты. Перед вычислениями следует проверить, что данные стороны действительно могут образовать треугольник.
Теорема косинусов связывает сторону треугольника с двумя другими сторонами и косинусом угла между ними: c² = a² + b² − 2ab cos γ. Здесь сторона c лежит напротив угла γ, а стороны a и b образуют этот угол. Формула нужна, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны.
Теорема синусов утверждает, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Буква R обозначает радиус описанной окружности, проходящей через все вершины. Теорема помогает находить недостающие стороны или углы и связывает треугольник с этой окружностью.
Чтобы получить формулу S = ½ah, можно достроить треугольник до параллелограмма с теми же основанием a и высотой h. Параллелограмм делится диагональю на два равных треугольника, поэтому площадь каждого вдвое меньше площади параллелограмма ah. Тот же результат получается, если сложить два одинаковых треугольника в параллелограмм. Высота при этом должна быть проведена именно к выбранному основанию.
Формула S = ½ab sin γ — не отдельное правило, а базовая формула площади в другой записи. Если взять сторону a за основание, высота к ней равна b sin γ: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой b синус γ есть отношение противолежащего катета к b. Подстановка этой высоты даёт S = ½ab sin γ. Формула S = pr тоже следует из базовой: разбейте треугольник на три треугольника с общей высотой r — радиусом вписанной окружности — и основаниями a, b, c; сумма площадей равна ½r(a + b + c) = pr.
Теорема косинусов получается из теоремы Пифагора, если опустить высоту и учесть проекцию одной стороны на другую. Для угла γ длина проекции стороны b на сторону a равна b cos γ, а высота равна b sin γ. По теореме Пифагора квадрат стороны напротив угла равен (a − b cos γ)² + (b sin γ)². Раскрывая скобки и используя sin² γ + cos² γ = 1, получаем c² = a² + b² − 2ab cos γ; при γ = 90° это становится теоремой Пифагора.
Теорему синусов можно понять через описанную окружность: сторона треугольника является хордой, а её длина равна диаметру окружности, умноженному на синус противолежащего угла. Поэтому a/sin α = 2R, и такие же равенства выполняются для остальных сторон. Теорема особенно удобна, когда известны сторона и два угла либо сторона и угол напротив неё: сначала находят недостающий угол, затем стороны. Если же известны две стороны и угол между ними, чаще начинают с теоремы косинусов.
Для многоугольника периметр находят сложением длин сторон, а площадь выбирают по форме и известным данным: например, основание и высоту у параллелограмма или основания и высоту у трапеции. Для круга достаточно радиуса: длина окружности зависит от него линейно, а площадь — от квадрата радиуса. Если нужны сектор или дуга, важен центральный угол: при измерении угла в радианах длина дуги l = rα, а площадь сектора S = ½r²α. Для сегмента, части круга между хордой и дугой, площадь равна площади соответствующего сектора минус площадь треугольника, образованного радиусами и хордой.
Найдите в таблице известные величины и выберите строку, в которой нужная величина выражена через них. Буквы a, b, c обозначают стороны, h — высоту, r — радиус, R — радиус описанной окружности; γ — угол между сторонами a и b. Угол в формулах длины дуги и площади сектора измеряется в радианах.
| Фигура или величина | Формула | Какие данные нужны | Ограничения и обозначения |
|---|---|---|---|
| Периметр треугольника | P = a + b + c | Три стороны | a, b, c — длины сторон |
| Площадь треугольника через основание и высоту | S = ½ah | Основание и высота к нему | h проведена к стороне a |
| Площадь треугольника через две стороны и угол между ними | S = ½ab sin γ | Стороны a, b и угол между ними | γ — угол между a и b |
| Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности | S = pr | Полупериметр p и радиус r | p = (a + b + c)/2 |
| Формула Герона | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) | Три стороны | p = (a + b + c)/2 |
| Теорема Пифагора | c² = a² + b² | Два катета или катет и гипотенуза | Только для прямоугольного треугольника; c — гипотенуза |
| Теорема косинусов | c² = a² + b² − 2ab cos γ | Две стороны и угол между ними либо три стороны | c лежит напротив γ; a и b образуют γ |
| Теорема синусов | a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R | Сторона и противолежащий угол, радиус R | α, β, γ — углы напротив a, b, c |
| Площадь параллелограмма | S = ah | Основание и высота к нему | a — сторона-основание |
| Площадь ромба через диагонали и через сторону с углом | S = ½d₁d₂; S = a² sin α | Две диагонали либо сторона и угол | α — угол между соседними сторонами |
| Площадь трапеции | S = ½(a + b)h | Основания и высота | a и b — параллельные основания |
| Средняя линия трапеции | m = ½(a + b) | Два основания | m соединяет середины боковых сторон |
| Длина окружности | C = 2πr = πd | Радиус или диаметр | d = 2r |
| Площадь круга | S = πr² | Радиус | r — радиус круга |
| Длина дуги окружности | l = rα | Радиус и центральный угол | α выражен в радианах |
| Площадь сектора | S = ½r²α | Радиус и центральный угол | α выражен в радианах |
Задача 1. Основание треугольника равно 8 см, высота к нему — 5 см. Найдите площадь и определите, как она изменится, если основание увеличить в два раза, оставив высоту прежней. Здесь известны основание и соответствующая высота, поэтому не требуется сначала находить стороны или углы. Если условие не говорит, что высота меняется, считаем её прежней.
Ответ: 20 см²; при удвоении основания и неизменной высоте площадь удваивается. Это происходит потому, что в формуле основание входит как множитель. Если бы вместе с основанием изменилась высота, нужно было бы пересчитать оба множителя.
Задача 2. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь и проверьте её по формуле через две стороны, если угол между сторонами 13 см и 14 см равен 90°. Три стороны сразу подсказывают применить формулу Герона, а для проверки можно независимо воспользоваться формулой S = ½ab sin γ. В условии угол прямой, поэтому синус этого угла равен единице.
Проверка дала другой результат, значит данные задачи противоречивы: стороны 13, 14 и 15 не могут образовать прямоугольный треугольник с прямым углом между сторонами 13 и 14. Для корректной проверки нужно использовать фактический угол между ними, который можно найти по теореме косинусов: cos γ = (13² + 14² − 15²)/(2 · 13 · 14) = 140/364. Тогда формула площади через две стороны даст тот же результат, что и Герон.
Задача 3. В треугольнике стороны a = 7 см и b = 5 см образуют угол γ = 60°. Найдите третью сторону, площадь и радиус описанной окружности. Два известных отрезка и угол между ними позволяют сначала применить теорему косинусов. После нахождения третьей стороны можно использовать теорему синусов, а площадь — формулу через две стороны и синус угла.
Ответ: c = √39 см, S = 35√3/4 см², R = √13 см. Последовательность выбрана по данным: сначала две стороны и угол между ними дали недостающую сторону, затем — площадь и радиус. Такая проверка соответствия сторон и противолежащих углов помогает не подставить в теорему синусов неправильную пару.
Подставляют высоту, проведённую не к выбранному основанию. Это случается, если на чертеже высоты выглядят похожими или ученик не следит, от какой вершины и к какой стороне проведён перпендикуляр; тогда произведение ah уже не даёт площадь. Перед вычислением подпишите основание и соответствующую ему высоту, а затем проверьте, что высота перпендикулярна именно этому основанию.
Применяют теорему Пифагора в любом треугольнике, хотя она справедлива только для прямоугольного. Привычная запись c² = a² + b² может показаться подходящей для любых трёх сторон, но без прямого угла она неверна. Проверьте, указан ли прямой угол; если нет, для произвольного треугольника используйте теорему косинусов.
Путают угол между двумя сторонами с углом, лежащим напротив одной из них. Из-за этого в формуле площади может оказаться не тот синус, а в теореме косинусов сторона и угол будут не соответствовать друг другу. Отметьте угол на чертеже: в S = ½ab sin γ он должен быть заключён между a и b, а в c² = a² + b² − 2ab cos γ сторона c должна лежать напротив γ.
Смешивают единицы длины и площади или оставляют площадь в линейных единицах. Такое происходит, когда в ответе забывают возвести сантиметры в квадрат либо складывают, например, периметр и площадь. Проверяйте размерность: периметр измеряется в см, площадь — в см², а в формуле площади произведение двух длин действительно даёт квадратную единицу.
Для работы с формулами нужны свойства треугольников и четырёхугольников, единицы измерения, теорема Пифагора, синус и косинус угла, а также радианная мера. Освоенные соотношения пригодятся в задачах на подобие, координатный метод, векторы и стереометрию. В пространстве плоские формулы используют при выводе формул площадей и расстояний: например, при рассмотрении сечений многогранника или развёртки поверхности.
Как понять, какую формулу площади треугольника выбрать?
Посмотрите, какие величины даны. Если известны основание и соответствующая ему высота, используйте S = ½ah; если две стороны и угол между ними — S = ½ab sin γ. По трём сторонам подходит формула Герона, а при известном радиусе вписанной окружности — S = pr.
Можно ли найти площадь треугольника только по трём сторонам?
Да, для этого используют формулу Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр, равный (a + b + c)/2. Сначала убедитесь, что стороны образуют треугольник: сумма любых двух должна быть больше третьей.
Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?
Теорема Пифагора применяется только в прямоугольном треугольнике и связывает его катеты и гипотенузу. Теорема косинусов работает в любом треугольнике: c² = a² + b² − 2ab cos γ. Когда γ = 90°, cos γ = 0, и формула превращается в теорему Пифагора.
Как не перепутать радиус и диаметр в формулах окружности и круга?
Радиус r — отрезок от центра до окружности, а диаметр d проходит через центр и равен 2r. В формулах длины окружности можно писать C = 2πr или C = πd, а площадь круга вычисляют как S = πr². Если дан диаметр, для площади сначала найдите радиус.
Почему при вычислении площади результат записывают в квадратных единицах?
Площадь показывает, сколько единичных квадратов покрывает фигура, поэтому единица длины умножается сама на себя. Например, если стороны измерены в сантиметрах, площадь выражается в см². Длины периметра при этом остаются в обычных единицах — например, в сантиметрах.
Формулы планиметрии
