Список задач на построение в пространстве

Определения и обозначения

Построение в пространстве — получение нужного геометрического объекта с помощью уже заданных объектов и известных построений. Результатом может быть точка, прямая или плоскость, например точка пересечения прямой и плоскости. Определение помогает отделить само построение на чертеже от доказательства того, что результат верен.

След плоскости — линия, по которой данная плоскость пересекает плоскость чертежа. На плоском рисунке пространственную плоскость изображают через такой след и отмеченные точки или прямые. След нужен, чтобы показать положение плоскости на рисунке и наглядно связать её с другими объектами.

Линия пересечения плоскостей — прямая, состоящая из точек, общих двум плоскостям. Чтобы задать эту прямую, достаточно построить две различные точки, принадлежащие обеим плоскостям. Поэтому при решении задачи важно для каждой найденной точки отдельно проверить принадлежность каждой из плоскостей.

Точка пересечения прямой и плоскости — точка, которая одновременно лежит на данной прямой и в данной плоскости. На чертеже её обычно находят через пересечение исходной прямой с линией, полученной вспомогательным построением. Это понятие позволяет свести задачу в пространстве к поиску пересечений на плоском рисунке.

Как это устроено

Хотя фигуры находятся в пространстве, построения выполняют на плоском чертеже: его удобнее начертить и на нём можно отмечать точки, проводить прямые и изображать плоскости. Чертёж помогает увидеть возможное взаимное расположение объектов и выбрать путь решения. Однако изображение может искажать длины и углы, поэтому видимое пересечение или параллельность ещё нужно подтвердить рассуждением.

Чтобы построить пересечение двух плоскостей, ищут две точки, лежащие в обеих. Часто эти точки уже заданы: например, общие вершины многогранника. Через найденные точки проводят прямую, потому что две различные точки определяют единственную прямую. Остаётся обосновать принадлежность каждой точки обеим плоскостям.

Для поиска общей точки прямой и плоскости удобно ввести вспомогательную плоскость, содержащую эту прямую. Вспомогательная плоскость пересекает заданную плоскость по прямой; затем находят пересечение этой линии с исходной прямой. Такая последовательность работает потому, что искомая точка одновременно лежит на прямой и в заданной плоскости, а значит, принадлежит и линии их пересечения с вспомогательной плоскостью.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной. Для построения выбирают плоскость, в которой лежит исходная прямая и новая точка, а затем используют известное построение параллельных прямых в одной плоскости. Проверка состоит в том, чтобы установить, что обе прямые принадлежат этой плоскости и не пересекаются.

Чтобы через точку вне плоскости провести параллельную ей плоскость, в исходной плоскости выбирают две пересекающиеся прямые. Через заданную точку проводят прямые, параллельные каждой из выбранных. Эти две новые прямые пересекаются в заданной точке и задают единственную плоскость. Она параллельна исходной, поскольку содержит прямые, параллельные двум пересекающимся прямым исходной плоскости.

Основные задачи на построение в пространстве

Пользуйся таблицей как коротким планом: сначала уточни, какие объекты даны, затем выбери подходящий приём. После построения проверь, какие свойства нужно доказать, чтобы ответ не зависел только от вида рисунка.

Разбор задач

Пересечение плоскостей в тетраэдре

Условие. В тетраэдре ABCD требуется построить линию пересечения плоскостей ABC и ACD. Сначала отметим общие элементы этих плоскостей. Искомая линия должна проходить через точки, принадлежащие обеим плоскостям.

1. Точка A входит в плоскость ABC и в плоскость ACD.
2. Точка C также принадлежит обеим плоскостям.
3. Проведём прямую AC. Она является искомой линией, так как проходит через две общие точки плоскостей.

Ответ: линия пересечения плоскостей ABC и ACD — прямая AC. Доказательство опирается на то, что две различные общие точки задают единственную прямую.

Пересечение диагонали боковой грани с основанием призмы

Условие. В призме ABC–A₁B₁C₁ найдём пересечение диагонали AB₁ боковой грани ABB₁A₁ с плоскостью основания ABC. Диагональ целиком лежит в плоскости боковой грани, поэтому введём эту плоскость как вспомогательную. Так задача сведётся к пересечению двух плоскостей и двух прямых.

1. Вспомогательная плоскость ABB₁ содержит искомую прямую AB₁.
2. Плоскости ABB₁ и ABC пересекаются по прямой AB, поскольку точки A и B принадлежат обеим плоскостям.
3. Диагональ AB₁ пересекает прямую AB в точке A. Эта точка лежит и на диагонали, и в плоскости основания.

Ответ: точка пересечения — A. Проверка показывает, что вспомогательная плоскость действительно содержит исходную прямую, а найденная точка принадлежит обеим требуемым фигурам.

Плоскость через точку, параллельная данной

Условие. Через точку M вне плоскости α нужно провести плоскость, параллельную α; в α заданы пересекающиеся прямые a и b. Выберем их, потому что две пересекающиеся прямые задают плоскость. Построение параллельных им прямых позволит получить плоскость через M.

1. Через M проведём прямую a₁, параллельную a.
2. Через M проведём прямую b₁, параллельную b. Прямые a₁ и b₁ различны и пересекаются в M, поэтому задают плоскость β.
3. Плоскость β параллельна α по признаку параллельности плоскостей: она содержит две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым α.

Ответ: искомая плоскость — β, заданная прямыми a₁ и b₁. Если бы M лежала в α, построенная плоскость совпала бы с α, поэтому условие о точке вне плоскости существенно.

Типичные ошибки

Считать, что для построения линии пересечения плоскостей достаточно одной общей точки, — ошибка: через неё проходит множество прямых. Так рассуждают, когда забывают, что прямая задаётся двумя точками. Проверь себя: найдены ли две различные точки, принадлежащие обеим плоскостям?

Нельзя проводить линию пересечения через точки, которые лежат только в одной из плоскостей. На рисунке может казаться, что точка общая, но одного изображения недостаточно. Для каждой точки отдельно укажи, почему она принадлежит первой и второй плоскости.

Вспомогательная плоскость при поиске пересечения прямой с плоскостью должна содержать исходную прямую. Иначе полученная линия пересечения плоскостей не поможет найти общую точку с этой прямой. Перед построением проверь, что обе точки прямой или вся прямая лежат в выбранной плоскости.

Нельзя объявлять прямые параллельными только потому, что на чертеже они выглядят параллельными. Проекция пространственных объектов может искажать их направление, а параллельные на рисунке прямые могут не быть параллельны в пространстве. Проверь принадлежность одной плоскости и используй геометрический признак параллельности.

Связь с другими темами

Для построений нужно уметь задавать плоскость: например, тремя точками, точкой и прямой или двумя пересекающимися прямыми. Также понадобятся признаки параллельности прямых и плоскостей, чтобы обосновывать результаты, а не полагаться на чертёж. Эти приёмы применяют при построении сечений многогранников и изучении взаимного расположения прямых и плоскостей. Они помогают и в доказательствах пространственных теорем, когда нужно найти общие точки или показать параллельность.

Что запомнить

• Линию пересечения двух плоскостей задают две общие точки.
• Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно использовать вспомогательную плоскость.
• Вспомогательная плоскость должна содержать прямую, пересечение с которой ищут.
• Через точку вне прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой.
• Плоскость задаётся двумя пересекающимися прямыми.
• Каждое построение нужно сопровождать обоснованием принадлежности и параллельности объектов.