Список основных теорем 10 класса

Определения и обозначения

Аксиомы стереометрии — исходные утверждения о точках, прямых и плоскостях, которые принимают без доказательства. Например, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в ней. Эти утверждения задают правила, на которых строят доказательства и устанавливают взаимное расположение фигур.

Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек; обозначают a ∥ α. Плоскости параллельны, если не пересекаются, и это записывают α ∥ β. Такие обозначения помогают кратко описывать положение объектов, но сами по себе не заменяют доказательства параллельности.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения; пишут a ⟂ α. Угол между прямой и плоскостью — острый угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Это определение позволяет измерять пространственный наклон с помощью плоского угла.

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой, которая называется ребром. Его величину измеряют линейным углом: для этого проводят в гранях лучи, перпендикулярные ребру, и рассматривают угол между ними.

Как это устроено

Аксиомы и их следствия помогают не судить о пространстве только по изображению: рисунок часто искажает длины и углы. Например, если две точки прямой лежат в плоскости, аксиома сразу гарантирует, что в ней лежит вся прямая. А если две плоскости имеют общую точку, через неё и другие общие точки проходит их линия пересечения. Так отношения между объектами устанавливают логически, а не по виду чертежа.

Чтобы доказать параллельность прямой и плоскости, достаточно найти в этой плоскости прямую, параллельную данной, и отдельно установить, что данная прямая в плоскости не лежит. Иначе она может просто совпадать с прямой плоскости. Для параллельности двух плоскостей используют две пересекающиеся прямые одной плоскости: если они соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Пересечение прямых важно: оно задаёт направление всей плоскости, а не одной линии.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости упрощает проверку: достаточно доказать перпендикулярность прямой двум пересекающимся прямым этой плоскости. Именно пересечение этих прямых позволяет охватить разные направления внутри плоскости. Для перпендикулярности плоскостей обычно находят в одной из них прямую, перпендикулярную другой плоскости; тогда плоскости перпендикулярны. Поэтому пространственную проверку сводят к более понятному условию с прямой.

Угол между скрещивающимися прямыми строят, проведя через точку одной прямой прямую, параллельную другой; скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Полученный плоский угол и есть угол между ними. Угол между прямой и плоскостью тоже сводят к плоскому: находят проекцию прямой и измеряют угол между ней и исходной прямой. Проекция нужна потому, что показывает направление прямой относительно плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах связывает наклонную к плоскости с её проекцией: прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна её проекции. Проекцию строят, опуская из конца наклонной перпендикуляр на плоскость; начало наклонной уже лежит в плоскости. Теорема позволяет проверить перпендикулярность, не сравнивая напрямую наклонную и прямую плоскости. А перпендикуляр, проекция и наклонная образуют прямоугольный треугольник, поэтому для вычисления длин применима теорема Пифагора.

Основные теоремы стереометрии 10 класса

Сначала найдите в условии объекты, которые связаны нужной теоремой: например, две пересекающиеся прямые или проекцию наклонной. Затем проверьте все условия, включая то, что прямая не лежит в плоскости, если это требуется. После этого сформулируйте вывод и используйте его для вычисления или дальнейшего доказательства.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α лежит прямая a, а прямая b не лежит в α и параллельна a. Докажите, что b параллельна α. Нужно определить, подходит ли известная параллельность прямых для признака параллельности прямой плоскости. В условии уже указано, что a принадлежит α, а b не содержится в α.

1. Выделим прямую a, лежащую в плоскости α.
2. По условию b ∥ a, то есть прямая b параллельна прямой плоскости α.
3. Поскольку b не лежит в α, выполняется второе условие признака параллельности прямой и плоскости.
4. Применяем признак: прямая, параллельная прямой плоскости и не лежащая в этой плоскости, параллельна плоскости.

Ответ: b ∥ α. Отдельная проверка о том, что b не лежит в α, здесь необходима: без неё прямые могли бы обе принадлежать одной плоскости, и заключение о параллельности плоскости не следовало бы из признака.

Задача 2. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр длиной 5 см и наклонная; длина проекции наклонной на плоскость равна 12 см. Найдите длину наклонной. Перпендикуляр соединяет исходную точку с основанием на плоскости, а проекция идёт от основания перпендикуляра до основания наклонной. Эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник.

1. Обозначим перпендикуляр через h = 5 см, проекцию через p = 12 см, наклонную через l.
2. Угол между перпендикуляром и плоскостью прямой, поэтому h перпендикулярен проекции p.
3. По теореме Пифагора l² = h² + p² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
4. Так как длина положительна, l = √169 = 13 см.

Ответ: 13 см. Важно не складывать длины перпендикуляра и проекции напрямую: они являются катетами, а наклонная — гипотенузой прямоугольного треугольника.

Задача 3. В пространстве дана наклонная к плоскости и её ортогональная проекция. Прямая c лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции наклонной. Докажите, что c перпендикулярна наклонной. Прежде чем применять теорему, нужно убедиться, что речь идёт именно об ортогональной проекции, а не о произвольном отрезке на плоскости.

1. Пусть A — точка начала наклонной, лежащая в плоскости, B — её конец вне плоскости, а H — основание перпендикуляра из B к плоскости.
2. Тогда AH — ортогональная проекция наклонной AB на плоскость.
3. По условию c лежит в плоскости и c ⟂ AH.
4. Применяем теорему о трёх перпендикулярах: прямая плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна самой наклонной.

Ответ: c ⟂ AB. Здесь наклонная — AB, её проекция — AH, перпендикуляр — BH. Если бы не было построено H и определена проекция, условие теоремы нельзя было бы проверить.

Типичные ошибки

По рисунку может показаться, что прямая не пересекает плоскость, и ученик объявляет её параллельной. Но чертёж передаёт пространственное положение условно, поэтому видимое отсутствие пересечения ничего не доказывает. Проверьте положение теоремой или признаком и укажите, почему общих точек нет.

Иногда параллельность прямой одной линии плоскости сразу принимают за параллельность всей плоскости. Такой вывод не работает, если сама прямая лежит в плоскости: тогда у них есть общие точки. Для проверки назовите прямую внутри плоскости, параллельную данной, и отдельно подтвердите, что данная прямая плоскости не принадлежит.

Угол между прямой и плоскостью ошибочно определяют по углу с любой прямой, лежащей в плоскости. Такая линия может иметь произвольное направление и не быть проекцией исходной прямой. Постройте ортогональную проекцию и измеряйте угол именно между ней и исходной прямой.

Теорему о трёх перпендикулярах применяют, не построив проекцию наклонной, или называют проекцией саму наклонную. Это происходит, когда в чертеже не отмечено основание перпендикуляра. Обозначьте основание, проведите проекцию от основания наклонной до него и лишь затем проверьте условие перпендикулярности.

Связь с другими темами

Для доказательств пригодятся планиметрические признаки параллельности и перпендикулярности прямых, свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Они позволяют работать с сечениями и проекциями так, как с обычными плоскими фигурами. Позже теоремы стереометрии применяются при изучении многогранников, вычислении углов и расстояний, решении задач на сечения и объёмы. Поэтому построение подходящего плоского треугольника часто становится ключом к пространственной задаче.

Что запомнить

• Аксиомы принимают без доказательства; теоремы доказывают, опираясь на аксиомы и уже известные результаты.
• Параллельность прямой плоскости проверяют по прямой, лежащей в этой плоскости.
• Перпендикулярность прямой плоскости устанавливают по её перпендикулярности двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Угол между прямой и плоскостью находят по прямой и её ортогональной проекции на плоскость.
• Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
• Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность в пространстве с перпендикулярностью проекции.