"Информатика", Горячев А.В., Волкова Т.О.
Симметрия — свойство фигуры совпадать с собой после определённого преобразования. При осевой симметрии фигуру отражают относительно прямой, а при центральной поворачивают на 180° вокруг точки. Эти преобразования помогают строить и распознавать фигуры, орнаменты и изображения. Чтобы проверить симметрию, нужно сопоставить точки фигуры с их образами: при отражении ось делит соответствующие отрезки пополам под прямым углом, а при повороте серединой таких отрезков становится центр.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Симметричная фигура — фигура, которая при определённом преобразовании совпадает сама с собой. Например, после отражения или поворота её точки могут занять прежние места. Это определение помогает проверить, действительно ли преобразование сохраняет всю фигуру, а не только похожий на неё фрагмент.
Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура отражается сама в себя; точки по разные стороны от неё соответствуют друг другу. Ось служит ориентиром для построения зеркальных образов. Она делит фигуру на части, которые при наложении совпадают.
Осевая симметрия — преобразование, при котором каждая точка переходит в точку, зеркально расположенную относительно заданной прямой. Прямая называется осью этого преобразования. Понятие нужно, чтобы точно описывать отражение и строить образ каждой точки фигуры.
Центр симметрии — точка, относительно которой соответствующие точки фигуры расположены на одной прямой по разные стороны и на одинаковом расстоянии. Она находится посередине между точкой и её образом. По этому правилу можно построить центрально-симметричную фигуру и проверить результат.
Осевая симметрия получается при зеркальном отражении. Чтобы построить образ точки, проводят перпендикуляр к оси: только по этому направлению измеряется кратчайшее расстояние от точки до прямой. Затем на другой стороне оси откладывают равный отрезок. Так образ оказывается на таком же расстоянии от оси, как исходная точка, и сохраняется зеркальное расположение.
При отражении точки, лежащие на оси, остаются на месте, потому что расстояние от них до оси равно нулю. Остальные точки переходят в парные точки по другую сторону. Ось проходит через середины отрезков, соединяющих соответствующие точки, и перпендикулярна им. Поэтому отражённые части фигуры накладываются друг на друга, если ось действительно является осью симметрии.
Центральную симметрию можно построить поворотом фигуры на 180° вокруг центра. За такой поворот каждая точка оказывается на противоположной стороне от центра, но на том же расстоянии от него. Поэтому центр становится серединой отрезка, соединяющего точку с её образом. Поворот на другой угол обычно не даёт центральной симметрии: важен именно разворот на пол-оборота.
Чтобы проверить симметрию фигуры, нужно сопоставить её точки после преобразования и убедиться, что образ всей фигуры совпадает с исходной. Для осевой симметрии сравнивают фигуру с её отражением, а для центральной — с результатом поворота на 180°. Недостаточно проверить одну удобную точку: другие части могут не совпасть. У многоугольника можно сопоставить вершины и стороны, а затем проверить, что совпадает весь контур.
У одной фигуры может быть несколько осей симметрии или несколько центров симметрии, если такое свойство сохраняется при разных подходящих прямых или точках. Однако наличие оси не доказывает наличие центра, и наоборот. Эти свойства связаны с разными преобразованиями: отражением и поворотом на 180°. Поэтому каждый вид симметрии проверяют отдельно, не делая вывод по внешнему сходству.
| Признак | Осевая симметрия | Центральная симметрия |
|---|---|---|
| Задаётся | Прямой — осью симметрии | Точкой — центром симметрии |
| Как находят образ точки | Проводят перпендикуляр к оси и откладывают равное расстояние по другую сторону | Проводят прямую через точку и центр, затем откладывают за центром равный отрезок |
| Что остаётся на месте | Точки, лежащие на оси | Центр симметрии |
| Как проверить для фигуры | Отразить фигуру относительно оси и сравнить с исходной | Повернуть фигуру на 180° вокруг центра и сравнить с исходной |
| Пример фигуры | Равнобедренный треугольник имеет ось симметрии | Параллелограмм имеет центр симметрии — точку пересечения диагоналей |
Пользуйтесь таблицей, когда нужно определить вид преобразования или выбрать способ построения образа. Сначала найдите, что задано: прямая или точка, затем примените соответствующее правило. Пример в последней строке показывает, что фигуры с осью и с центром могут быть разными.
Задача 1. Постройте точку, симметричную данной относительно прямой, и объясните построение. Нужно получить точку по другую сторону оси, сохранив расстояние до неё. Поскольку отражение происходит поперёк оси, соединяющий точки отрезок должен быть перпендикулярен прямой. Проверим, что ось проходит через его середину.
Ответ: точка A′ построена верно, потому что ось является серединным перпендикуляром к AA′. Если исходная точка лежит на оси, её образ совпадает с ней. В этом частном случае откладывать отрезок на другую сторону не требуется.
Задача 2. Дан отрезок и точка O. Постройте образ отрезка при центральной симметрии с центром O. Отрезок определяется двумя концами, поэтому достаточно построить образы этих точек. При центральной симметрии O должна быть серединой отрезка между каждой исходной точкой и её образом.
Ответ: образ отрезка — A′B′. Проверьте, что точки A, O, A′ лежат на одной прямой и OA = OA′, а точки B, O, B′ также лежат на одной прямой и OB = OB′. Эти проверки показывают, что O — середина обоих отрезков, соединяющих соответствующие концы.
Задача 3. Определите, имеет ли заданная фигура ось симметрии, центр симметрии или оба вида симметрии; обоснуйте ответ. Одного внешнего впечатления недостаточно: нужно проверить, совпадает ли вся фигура с образом после каждого преобразования. Сначала исследуйте отражение, затем независимо от него — поворот на 180°.
Ответ: у фигуры есть ось, если отражение относительно найденной прямой совмещает её с собой; центр есть, если это делает поворот на 180° вокруг найденной точки. Если проходят обе проверки, фигура имеет оба вида симметрии. В противном случае укажите только подтверждённый вид или заключите, что ни один из них не найден.
Не считайте, что ось симметрии обязана проходить через каждую точку фигуры. На ней остаются только точки, которые действительно лежат на прямой; остальные образуют пары по разные стороны. Ошибку допускают, смешивая ось с линией, по которой якобы проходит весь контур. Проверьте себя: для точки вне оси её образ должен находиться на другой стороне на том же расстоянии.
Не откладывайте расстояние до образа под наклоном к оси. При осевой симметрии отрезок между точкой и её образом перпендикулярен оси, потому что отражение меняет положение только поперёк прямой. Наклонное построение нарушает равенство расстояний до оси. Проверка проста: угол пересечения отрезка с осью должен быть прямым.
Не путайте центр симметрии с точкой, вокруг которой фигуру можно повернуть на любой угол. Для центральной симметрии нужен поворот ровно на 180°, иначе соответствующие точки могут не поменяться местами. Ошибку вызывает то, что слово «поворот» само по себе не указывает угол. Проверьте, находится ли центр посередине между каждой точкой и её образом после пол-оборота.
Не делайте вывод, что любая фигура с осью симметрии имеет и центр симметрии. Эти свойства проверяются отдельно, потому что одно относится к отражению, а другое — к повороту на 180°. Ошибку провоцирует представление, будто симметрия всегда означает одно и то же преобразование. Сверьтесь с обоими правилами и проверьте совпадение фигуры с каждым образом независимо.
Для построения симметричных точек нужны умения измерять расстояние, проводить перпендикуляр и находить середину отрезка. Эти действия встречаются в геометрических построениях и помогают проверять, верно ли найден образ. Симметрия также используется при создании и распознавании геометрических фигур, орнаментов и изображений. В графических редакторах похожие преобразования применяют, чтобы отражать и поворачивать части рисунка; работа с координатами помогает задавать положение точек точнее.
Как понять, является ли прямая осью симметрии фигуры?
Представьте, что фигуру отражают относительно этой прямой, как в зеркале. Если образ полностью совпадает с исходной фигурой, прямая является осью симметрии. Соответствующие точки должны быть на равном расстоянии от прямой по разные стороны.
Как построить точку, симметричную данной относительно прямой?
Из данной точки проведите перпендикуляр к прямой и продолжите его на другую сторону. Отложите на продолжении такое же расстояние, какое было от исходной точки до прямой. Полученная точка будет её образом.
Чем осевая симметрия отличается от центральной?
При осевой симметрии образ получают зеркальным отражением относительно прямой, а при центральной — поворотом на 180° вокруг точки. В первом случае середина отрезка между точкой и образом лежит на оси, во втором она совпадает с центром.
Как найти центр симметрии фигуры?
Найдите пары точек, которые должны переходить друг в друга при повороте на 180°. Центр симметрии будет серединой отрезка между каждой такой парой. Проверьте несколько пар и убедитесь, что поворот всей фигуры вокруг найденной точки совмещает её с исходной.
Может ли у фигуры быть несколько осей симметрии?
Да, у одной фигуры может быть несколько осей симметрии. Например, у квадрата их четыре. Каждую прямую проверяют отдельно: отражение относительно неё должно совмещать всю фигуру с самой собой.
§ 5. Симметрия
