Договариваемся о том, как сравнивать фигурки наложением

Определения и обозначения

Фигурка — плоская геометрическая фигура, которую при сравнении рассматривают как одно целое. Это может быть простая или сложная форма с углами, сторонами, выступами и вырезами. Такое слово помогает говорить обо всей фигуре, а не только об отдельных её частях.

Наложение фигурок — способ сравнения, при котором одну фигурку мысленно или на прозрачном материале помещают поверх другой. Затем совмещают их заметные части и проверяют результат. Так можно узнать, одинаковы ли формы, не полагаясь только на зрительное впечатление.

Совпадение фигурок — результат наложения, при котором границы и внутренние части полностью совмещаются. Если край одной фигуры везде проходит по краю другой, а вырезы и выступы находятся на тех же местах, фигурки совпали. Это точная проверка, а не оценка «примерно похожи».

Равные фигурки — фигурки, которые можно совместить наложением, передвигая, поворачивая или переворачивая одну из них. При этом нельзя изменять её форму или размеры. Понятие равенства нужно, чтобы отличать действительно одинаковые фигурки от просто похожих.

Как это устроено

Внешний вид фигурки на рисунке зависит от её положения и ориентации: одна и та же форма может быть повернута, перевёрнута или сдвинута в сторону. Поэтому при разных направлениях стороны и углы кажутся расположенными иначе. Сама форма при этом не меняется, значит, различие изображения ещё не доказывает, что фигурки разные.

Для сравнения сначала выбирают одну фигурку за образец. Вторую перемещают так, чтобы совместить заметные углы, стороны или другие ориентиры, а затем проверяют всю границу. Такой порядок нужен потому, что совпадение одного участка может быть случайным, а полное совпадение показывает результат для всей фигурки.

Передвигать, поворачивать и переворачивать фигурку разрешено, потому что эти действия сохраняют её форму и размеры. Растягивание или сжатие действуют иначе: расстояния между точками становятся другими, а стороны и углы могут изменить взаимное положение. После такого изменения уже сравнивают не исходные фигурки, поэтому подобный способ проверки недопустим.

Полное совпадение означает, что совпал каждый участок границы и все внутренние детали. При частичном совпадении общий силуэт может выглядеть одинаково, но небольшой вырез, выступ или сторона окажется не на своём месте. Поэтому несовпадение хотя бы одного участка границы означает, что фигурки не равны.

Если фигурки нарисованы на бумаге, мысленного сравнения иногда недостаточно. Можно вырезать копию одной фигурки или перенести её на прозрачный лист, а затем аккуратно совместить с образцом. Сначала удобно проверить углы и длинные стороны, после чего пройти взглядом по всему краю и отметить вырезы, выступы и внутренние линии.

Как сравнивать фигурки наложением

В таблице указано, что проверять и какое действие выполнять на каждом шаге. Двигайтесь сверху вниз: сначала устраните различия в положении, затем сопоставьте границу и детали. Итог делайте только после проверки всех участков.

Разбор задач

Одинаково ориентированные фигурки

Условие. Даны две фигурки на клетчатой бумаге, направленные одинаково. Нужно определить, совпадают ли они. По виду они похожи, но вывод следует сделать после проверки границы.

1. Выбираем одну фигурку за образец.
2. Сопоставляем заметные углы и стороны, используя клетки как ориентиры.
3. Проверяем весь край по порядку: нет ли сдвига, лишнего выступа или пропущенного участка.
4. Сравниваем внутренние части, если они есть.

Ответ. Фигурки совпадают только в том случае, если совпала вся граница и все части. Одного совпадения нескольких углов для вывода недостаточно.

Фигурка повёрнута

Условие. Одна фигурка расположена под другим углом относительно второй. Нужно решить, равны ли они. Разное направление не позволяет сравнить их напрямую.

1. Выбираем образец и мысленно или практически поворачиваем вторую фигурку.
2. Совмещаем соответствующие углы, стороны и другие заметные ориентиры.
3. Проверяем границу целиком, не ограничиваясь первым совпавшим участком.
4. Убеждаемся, что внутренние детали также попали на свои места.

Ответ. Если после поворота все части совпали, фигурки равны. Если хотя бы один участок расходится, равенство не подтверждается.

Похожий силуэт и небольшой вырез

Условие. У одной фигурки есть небольшой вырез, а в соответствующем месте граница другой фигурки ровная. Нужно понять, можно ли считать их равными.

1. Сначала совмещаем общий силуэт, чтобы не принять сдвиг за различие.
2. Находим место выреза и сопоставляем его с границей второй фигурки.
3. Проверяем, есть ли такой же вырез, выступ или изменение края у второй фигуры.
4. Фиксируем результат по этому участку, даже если остальные стороны совпали.

Ответ. Фигурки не равны: их границы не совпадают полностью. Маленький вырез всё равно является частью формы и не может быть проигнорирован.

Типичные ошибки

Считать фигурки разными из-за положения. Так ошибаются, когда сравнивают изображения, не меняя их расположение. Нужно сначала попробовать передвинуть и повернуть одну фигурку, а затем сравнить форму.

Опираться только на общий силуэт. Похожий внешний вид создаёт впечатление равенства, хотя отдельные части могут различаться. Проверьте границу по всему контуру, включая короткие стороны и внутренние детали.

Не замечать небольшой вырез или выступ. Маленькую деталь легко пропустить, если смотреть на фигурку издалека. Проведите взглядом по краю медленно и отдельно проверьте подозрительный участок.

Растягивать или сжимать фигурку. Иногда так пытаются подогнать почти совпавшие изображения. Спросите себя, изменялись ли размеры или расстояния между частями: если да, сравнение выполнено неправильно.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь распознавать границу фигурки, её углы, стороны, выступы и вырезы. Эти признаки служат ориентирами при наложении и помогают заметить даже небольшое различие.

Способ наложения пригодится при изучении равных геометрических фигур и проверке равенства многоугольников. Позже он поможет понимать, почему одинаковые размеры и форма важнее положения фигуры на листе.

Что запомнить

• Фигурки сравнивают наложением.
• Положение и поворот фигурки можно менять.
• Растягивать и сжимать фигурку нельзя.
• Равные фигурки полностью совпадают при наложении.
• Похожего силуэта недостаточно для вывода о равенстве.
• Достаточно одного несовпадающего участка, чтобы фигурки не совпали.