§ 16. Реализация алгоритмов работы с целочисленными данными

Определения и обозначения

Целочисленные данные — числа без дробной части, с которыми выполняют арифметические операции и сравнения. Примеры таких чисел — 8, 0 и −14. В программе их записывают в целочисленные переменные, чтобы хранить исходные значения и результаты вычислений. Это удобно, когда по условию задачи нужны именно целые значения.

Целочисленное деление — операция div, которая даёт целую часть частного при делении одного целого числа на другое. Например, 17 div 5 = 3: дробная часть результата не сохраняется. Эта операция нужна, когда требуется получить целое число, например убрать последнюю цифру натурального числа. Делитель при этом не может быть равен нулю.

Остаток от деления — результат операции mod, который показывает, что осталось после целочисленного деления. Например, 17 mod 5 = 2, потому что 17 = 5 · 3 + 2. Остаток помогает находить отдельные части числа и проверять делимость. Вместе с div он даёт полное представление о результате деления.

Обработка цифр числа — последовательное выделение и анализ цифр целого числа с помощью деления на 10 и нахождения остатка. Остаток позволяет получить крайнюю справа цифру, а целочисленное деление убрать её. Повторяя эти действия, программа проходит число цифра за цифрой. Такой способ применяют в задачах о сумме цифр и свойствах числа.

Как это устроено

Целочисленные переменные объявляют, чтобы программа знала, какие значения в них будут храниться. В них записывают исходные данные, например числа, введённые пользователем, а также результаты действий с этими числами. Переменной присваивают значение, а затем используют её в выражении или проверке. Если ожидается целое число, целочисленный тип помогает не хранить лишнюю дробную часть.

Обычное деление может дать дробный результат, а div предназначена для получения целого частного. Например, при делении 17 на 5 обычный результат равен 3,4, но 17 div 5 даёт 3. Дробная часть отбрасывается, потому что операция возвращает целое значение. Поэтому div выбирают, когда нужны целые части результата, а не точное дробное частное.

Операции div и mod связаны: вместе они показывают, сколько раз делитель помещается в делимом и что остаётся после этого. Если частное равно q, остаток равен r, делимое равно a, а делитель — b, то a = b · q + r. Например, 17 div 5 = 3 и 17 mod 5 = 2, поэтому 17 = 5 · 3 + 2. Эта связь помогает проверить вычисление и понять смысл обеих операций.

В десятичной записи число состоит из цифр, а основание нашей системы счисления — 10. Остаток при делении натурального числа на 10 показывает, сколько единиц стоит в разряде единиц, то есть последнюю цифру: 438 mod 10 = 8. При делении на 10 целочисленно разряд единиц отбрасывается: 438 div 10 = 43. Значит, одна операция выделяет крайнюю цифру, а другая оставляет остальные разряды.

Чтобы обработать каждую цифру, действия с mod и div повторяют в цикле. Сначала программа получает последнюю цифру, выполняет с ней нужное действие, а затем заменяет обрабатываемое число результатом деления на 10. Так число уменьшается, и следующая цифра становится последней. Цикл продолжается, пока число не станет равным нулю, после чего все его цифры уже обработаны.

Операции с целочисленными данными

Чтобы выбрать операцию, сначала определите, какой результат нужен: сумму, разность, произведение, целое частное или остаток. Для деления с остатком используйте div и mod вместе и проверьте равенство делимое = делитель · частное + остаток. Перед делением убедитесь, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Найти частное и остаток

Условие: даны два целых числа. Нужно найти частное и остаток от деления первого числа на второе. Пусть это числа 29 и 6. Перед вычислением проверим, что делитель 6 не равен нулю.

1. Вычисляем целую часть частного: 29 div 6 = 4, потому что 6 помещается в 29 четыре раза.
2. Вычисляем остаток: 29 mod 6 = 5, так как после вычитания четырёх шестёрок остаётся 5.
3. Проверяем результат: 6 · 4 + 5 = 29, значит, частное и остаток найдены верно.

Ответ: частное равно 4, остаток равен 5. Если бы второй вводимый делитель оказался нулём, выполнять div и mod было бы нельзя. В программе это условие следует проверить до вычислений.

Получить последнюю цифру и удалить её

Условие: дано натуральное число. Требуется определить его последнюю цифру и число, которое получится после её удаления. Возьмём число 735. Сначала нужно понять, какая операция выделяет крайнюю справа цифру, а какая оставляет старшие разряды.

1. Находим последнюю цифру: 735 mod 10 = 5.
2. Удаляем её: 735 div 10 = 73.
3. Проверяем ответ по записи числа: в 735 после цифры 5 остаётся 73.

Ответ: последняя цифра — 5, число после её удаления — 73. Нулевой остаток для последней цифры возможен, например у числа 730. Тогда операция div всё равно правильно удалит последнюю цифру и даст 73.

Найти сумму цифр числа

Условие: дано натуральное число, нужно найти сумму его цифр. Пусть дано число 527, а начальная сумма равна нулю. В цикле будем извлекать крайнюю справа цифру, прибавлять её к сумме и убирать из числа.

1. Получаем 7 как 527 mod 10 и прибавляем её: сумма становится 7. Затем заменяем число на 527 div 10, то есть на 52.
2. Получаем 2 как 52 mod 10: сумма становится 9. Убираем эту цифру: 52 div 10 = 5.
3. Получаем 5 как 5 mod 10: сумма становится 14. После этого 5 div 10 = 0, поэтому цикл завершается.

Ответ: сумма цифр числа 527 равна 14. В программе шаги повторяются, пока обрабатываемое число не станет нулём. На каждом шаге меняется именно это число, а сумма накапливает результат.

Типичные ошибки

Использовать обычное деление вместо div — значит получить дробный результат или значение, которое не подходит по типу. Так делают, когда не различают точное деление и целочисленное. Проверьте себя на примере 17 и 5: для целого частного нужен результат 3, значит, следует выбрать div.

Путать div и mod — значит перепутать удаление цифры с её выделением. Это происходит, если запомнить обозначения, но не проверить их на примере. Для числа 438 вычислите обе операции: mod 10 должно дать 8, а div 10 — 43. Если получился обратный результат, операции переставлены.

Если не изменять обрабатываемое число внутри цикла, условие завершения может никогда не выполниться. Цифру будут получать снова и снова из одного и того же числа. После каждого шага проверьте, что значение заменяется на результат деления через div 10 и постепенно становится равным нулю.

Деление или нахождение остатка при нулевом делителе невозможно. Ошибку допускают, если применяют операцию сразу, не проверив вводимые данные. Перед вычислением проверьте делитель: если он равен нулю, нужно сообщить о некорректных данных или не выполнять деление.

Связь с другими темами

Для работы с целыми числами нужны знания о переменных, присваивании, арифметических выражениях и циклах. Переменные хранят исходное число, текущую цифру и промежуточный результат, присваивание обновляет их значения, а цикл повторяет действия. Если понимать эти основы, можно проследить работу алгоритма по шагам и проверить результат. Каждая часть программы выполняет свою задачу.

Обработка цифр пригодится в задачах на сумму цифр, проверку свойств числа и преобразование его записи. Приёмы div 10 и mod 10 позволяют разбирать число без преобразования его в текст. Меняя действие над каждой выделенной цифрой, можно строить разные алгоритмы. Например, цифры можно суммировать или проверять, выполняется ли для них заданное условие.

Что запомнить

• Целочисленные данные не содержат дробной части.
• Операция div находит целую часть частного.
• Операция mod находит остаток от деления.
• Для натурального числа n операция n mod 10 выделяет последнюю цифру.
• Операция n div 10 удаляет последнюю цифру натурального числа.
• Чтобы обработать все цифры числа, повторяют выделение и удаление цифр в цикле.