"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В. М. Котов, А. И. Лапо, Ю.А. Быкадоров, Е.Н. Войтехович
Документальная математическая модель — описание задачи с помощью текста, обозначений и математических соотношений. Она помогает выделить важные свойства ситуации и точно показать, как связаны известные и неизвестные величины. При её создании определяют цель, вводят переменные и параметры, указывают единицы измерения и допущения, а затем записывают формулы или неравенства. Готовую модель проверяют по условию: она должна содержать всё необходимое и не включать противоречивых связей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Документальная математическая модель — представление задачи в виде текста, обозначений, формул и соотношений, описывающее существенные свойства реального объекта или процесса. Иными словами, это точная запись того, что важно для решения, без лишних подробностей. Она нужна, чтобы увидеть связи между данными и неизвестными и подготовить описание задачи для дальнейших вычислений.
Переменная — обозначение величины, значение которой может изменяться или быть неизвестным. Например, буквой S можно обозначить площадь участка, а буквой x — число предметов. Смысл и единицы каждой переменной указывают, чтобы читатель понимал, что именно вычисляется и с какими величинами работает формула.
Параметр — величина, значение которой в рассматриваемой задаче задано и считается постоянным. Например, в задаче о движении заданная скорость v выступает параметром, а путь s может быть искомым. Различение параметров и переменных помогает отделить исходные сведения от того, что требуется определить.
Допущение — условие, которое упрощает описание ситуации и позволяет построить модель; его формулируют явно. Например, можно принять, что автомобиль всё время движется с постоянной скоростью. Допущение нужно, чтобы было понятно, при каких условиях выбранные формулы описывают задачу и где заканчивается область их применения.
Сначала анализируют условие: определяют объект или процесс, цель исследования, известные данные и то, что нужно найти. Такой разбор нужен потому, что задача может содержать дополнительные подробности, не влияющие на ответ. Если заранее не выделить главное, легко пропустить искомую величину или включить в модель лишние сведения. Поэтому перед формулами полезно кратко записать: что рассматриваем, что известно и какой результат требуется.
Затем существенным величинам назначают обозначения и поясняют каждое из них, включая единицы измерения. Это предотвращает путаницу: буква сама по себе не сообщает, обозначает ли она длину, время или количество предметов. Например, запись a = 8 без пояснения неполна, а запись a = 8 м сразу задаёт и смысл, и единицу. По обозначениям также проще различать исходные данные и неизвестные.
В текстовой части модели фиксируют допущения и ограничения. Реальный процесс обычно сложнее школьной задачи: скорость может меняться, поверхность быть неровной, а измерения — неточными. Упрощение позволяет применить математические соотношения, но только если его условия выполняются. Явная запись допущений предупреждает ошибочное использование формулы в ситуации, для которой она не подходит.
Связи между величинами записывают формулами, уравнениями, неравенствами или другими подходящими соотношениями. Выбор зависит от условия: равенство описывает точную связь, а неравенство может задавать предел, например ограничение бюджета. Математическая запись должна следовать из смысла задачи, а не подбираться только потому, что известна похожая формула. Пояснение обозначений позволяет проверить, действительно ли соотношение связывает нужные величины.
В конце модель проверяют на полноту и соответствие условию. Нужно убедиться, что учтены все необходимые данные и искомая величина, а единицы измерения согласованы. Затем оценивают, можно ли по записанным соотношениям получить результат: если неизвестных несколько, а связей недостаточно, модель не готова. Такая проверка помогает заметить пропуски и несоответствия до вычислений.
| Элемент модели | Что указывают | Зачем это нужно |
|---|---|---|
| Объект или процесс | Что изучают или описывают | Задаёт ситуацию, к которой относится модель |
| Цель моделирования | Какой результат требуется получить | Помогает выбрать важные величины и связи |
| Исходные данные | Известные значения и условия | Показывает, на чём основывается решение |
| Переменные и искомые величины | Обозначения, смысл и единицы измерения | Позволяет точно записать неизвестное |
| Параметры | Заданные постоянные величины | Отделяет исходные значения от неизвестных |
| Допущения и ограничения | Условия упрощения и границы применения | Уточняет, когда модель описывает ситуацию |
| Математические соотношения | Формулы, уравнения, неравенства | Связывает данные с искомым результатом |
Используй таблицу как проверочный список при записи модели. Для каждого элемента реши, нужен ли он в задаче, и впиши соответствующую информацию. Если важную величину или условие невозможно разместить в таблице, модель, вероятно, нужно уточнить.
Условие: для прямоугольного участка известны длина и ширина, требуется составить модель для вычисления площади. Числовые значения не заданы, поэтому модель должна выражать площадь через стороны. Предполагается, что участок имеет форму прямоугольника, а длина и ширина измерены в одинаковых единицах.
Обозначим длину участка буквой a, ширину — b, а площадь — S. Запишем единицы: a и b измеряются, например, в метрах, тогда S будет выражена в квадратных метрах.
Вспомним связь площади прямоугольника с его сторонами: площадь равна произведению длины на ширину. Поэтому составим соотношение S = a · b.
Проверим единицы: м · м = м², значит, правая часть действительно имеет единицу площади. Если известны числовые значения a и b, их можно подставить и вычислить S.
Ответ: модель — S = a · b, где a и b — длина и ширина участка, S — его площадь.
Условие: автомобиль движется с постоянной скоростью, известны скорость и время, нужно составить модель для определения пути. Обозначим скорость через v, время — через t, пройденный путь — через s. Допущение о постоянной скорости необходимо, чтобы весь путь можно было связать с одним значением v.
Укажем единицы: например, v измеряется в километрах в час, t — в часах, тогда s получится в километрах. Сначала проверим, что единицы скорости и времени согласованы.
При постоянной скорости путь за каждый час одинаков, поэтому общий путь равен скорости, умноженной на время. Записываем формулу s = v · t.
Подставим заданные значения скорости и времени, если они известны, и вычислим произведение. Полученный ответ проверим по единицам и убедимся, что постоянство скорости действительно указано в условии.
Ответ: модель — s = v · t при постоянной скорости и согласованных единицах измерения.
Условие: имеется ограниченная сумма денег, часть уже потрачена, известна цена предмета; требуется узнать, сколько предметов можно купить. Обозначим начальную сумму через B, уже потраченные деньги — через C, цену одного предмета — через p, число предметов — через n. Считаем, что все предметы стоят одинаково и остаток денег нельзя превысить.
После прежних расходов осталось B − C денег. Произведение p · n показывает стоимость новых предметов, поэтому она не должна быть больше остатка.
Составим неравенство p · n ≤ B − C. При положительной цене p получаем n ≤ (B − C) / p, но количество предметов должно быть целым неотрицательным числом.
Чтобы найти наибольшее возможное количество, берём целую часть результата деления. Перед вычислением проверяем, что B ≥ C и p > 0; иначе условие требует отдельного уточнения или покупка невозможна.
Ответ: модель — p · n ≤ B − C, где n — целое неотрицательное число; искомое максимальное количество находят округлением частного вниз.
Первая ошибка — записать формулу, не пояснив обозначения. Тогда читатель не знает, какие величины она связывает и в каких единицах дан ответ; так поступают, полагая, что буквы понятны сами собой. Проверь себя: рядом с каждой буквой должны быть её смысл и единица измерения, а единицы в формуле должны согласовываться.
Вторая ошибка — смешать исходные данные, параметры и искомые величины. Из-за этого можно принять неизвестное за заданное или не заметить, что требовалось найти. Чтобы проверить модель, раздели величины на известные и искомые, а параметры пометь как заданные постоянные значения.
Третья ошибка — не указать существенное допущение, например постоянство скорости. Формулу тогда применяют к ситуации, в которой её условие может не выполняться. Проверка простая: выпиши условия, на которых основан выбранный способ, и сравни их с текстом задачи; если условие не дано, его нужно обосновать или уточнить.
Четвёртая ошибка — составить соотношение, не сверив его с условием и единицами измерения. Причина часто в том, что знакомую формулу выбирают по отдельному слову, не проверяя смысл связи. Перечитай условие и объясни каждую часть формулы; затем проверь размерности и наличие всех необходимых данных.
Для составления документальной модели нужно уметь выделять данные и вопрос задачи, работать с буквенными обозначениями и применять математические формулы. Эти навыки помогают перевести словесное условие в ясную запись, не потеряв смысл величин. Полезно также понимать единицы измерения: они позволяют обнаружить ошибку ещё до вычисления результата.
Документальная модель — промежуточное звено между условием задачи и её компьютерным решением. Сначала связи между величинами формулируют текстом и записывают математически, затем модель можно реализовать в программе и проверить вычисления. Если исходная модель составлена неверно, компьютер лишь быстро выполнит вычисления по неверным правилам.
Чем математическая модель отличается от обычного описания задачи?
Обычное описание передаёт ситуацию словами, а математическая модель выделяет её существенные величины и связи между ними. Эти связи записывают с помощью формул, уравнений или неравенств, чтобы по модели можно было получить ответ.
Нужно ли вводить обозначение для каждой величины из условия?
Нет, обозначения нужны для величин, существенных для решения. Каждое введённое обозначение следует пояснить и указать его единицы измерения; второстепенные детали можно не включать.
Зачем отдельно записывать допущения?
Допущения уточняют, в каких условиях работает модель, и упрощают реальную ситуацию. Если их не назвать, формула может оказаться применённой там, где её условия не выполняются.
Как понять, что математическое соотношение соответствует условию?
Проверь, выражает ли оно описанную в задаче связь между величинами и использует ли нужные данные. Также сравни единицы измерения: обе части равенства должны быть согласованы.
Можно ли использовать одну модель для разных ситуаций?
Да, если в ситуациях одинаковы существенные связи и выполняются допущения модели. Например, зависимость пути от скорости и времени подходит для разных поездок при постоянной скорости, но не описывает ускорение.
23.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)
