"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В. М. Котов, А. И. Лапо, Ю.А. Быкадоров, Е.Н. Войтехович
Документальная математическая модель — записанное математическое описание задачи с обозначениями, исходными данными, зависимостями и ограничениями. Она нужна, чтобы ясно показать, как условие связано с вычислениями и какой результат требуется получить. Построение начинают с цели, затем выбирают существенные величины и переводят словесные условия в формулы или неравенства. Модель не копирует сам объект: она оставляет только то, что влияет на решение задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — описание существенных свойств объекта или процесса с помощью величин, формул и зависимостей. Она отличается от самого объекта тем, что не воспроизводит его целиком, а оставляет только важное для решения задачи. Так, движение тела можно описать через путь, скорость и время, не учитывая его цвет. Модель помогает рассуждать о ситуации и находить ответ.
Переменная — величина, значение которой может изменяться в рассматриваемой задаче. Её обозначают буквой или другим символом и поясняют, что именно она описывает: например, s — путь, t — время. Обозначения нужны, чтобы кратко записывать условия и видеть, какие величины связаны. Без пояснения символ может быть понят неправильно.
Параметр — заданная величина, которая в рамках модели считается постоянной, но при изменении её значения может измениться результат. Например, цена одного товара p может быть фиксирована при расчёте стоимости покупки, а в другой задаче рассматриваться как параметр. Параметр помогает учесть известные условия, не смешивая их с тем, что требуется найти. Его значение задаёт особенности конкретной ситуации.
Документальная математическая модель — записанное и снабжённое пояснениями математическое описание задачи. В ней указывают обозначения, исходные данные, зависимости и ограничения. Такая запись нужна, чтобы другой человек мог понять ход рассуждений и проверить, откуда взялась формула. Она также подготавливает задачу к дальнейшим вычислениям с помощью компьютера.
Начинать построение нужно с цели: сформулировать, на какой вопрос требуется ответить и какой результат найти. Если цель неясна, легко выбрать лишние величины или построить формулы, которые не помогают решить задачу. Например, вопрос о пройденном пути задаёт искомую величину, а скорость и время становятся данными для её вычисления. Ясная цель помогает оценить, подходит ли готовая модель.
Затем из описания выделяют существенные объекты и величины, то есть те, которые влияют на искомый результат. Это нужно потому, что реальные ситуации часто содержат подробности, не связанные с решением. При расчёте стоимости покупки важны количество и цена, а цвет упаковки обычно не влияет на итог. Отделение существенного от второстепенного делает модель проще и понятнее.
Для каждой используемой величины записывают обозначение и смысл, а при необходимости — единицу измерения. Кроме того, различают исходные данные, искомые величины и параметры: это показывает, что уже известно, что нужно найти и что считается постоянным. Например, если путь обозначен буквой s, следует пояснить, измеряется ли он в метрах или километрах. Такие пояснения помогают избежать путаницы при подстановке чисел.
Словесные условия переводят в математические зависимости: формулы, уравнения, неравенства или правила вычисления. Каждая связь должна вытекать из описания ситуации, иначе формула будет лишь догадкой. При постоянной скорости путь равен произведению скорости на время, поэтому записывают s = vt. Если действует ограничение бюджета, его выражают неравенством, а не равенством, поскольку стоимость может быть меньше бюджета.
Наконец, фиксируют допущения и ограничения, а затем проверяют модель целиком. Допущения показывают, какие упрощения приняты, а ограничения — какие значения допустимы, например положительные длины или целое количество товаров. Проверка нужна, чтобы обнаружить противоречия до вычислений: сравнивают обозначения с условием, следят за единицами и оценивают правдоподобие связей. Если модель не соответствует ситуации, результат расчёта тоже нельзя считать надёжным.
| Элемент модели | Что записывают | Контрольный вопрос |
|---|---|---|
| Цель | Какой результат требуется найти? | Понятно ли, на какой вопрос отвечает модель? |
| Величины и обозначения | Смысл символов и единицы измерения | Однозначно ли определена каждая величина? |
| Исходные данные и параметры | Известные значения и величины, считающиеся постоянными | Все ли данные условия учтены? |
| Зависимости | Формулы и математические условия задачи | Следуют ли они из описания ситуации? |
| Допущения и ограничения | Условия применимости модели и допустимые значения | Не противоречат ли они условию задачи? |
Используйте таблицу как план записи модели: заполните её сверху вниз, опираясь на условие задачи. Затем ответьте на контрольные вопросы, чтобы найти пропуски и проверить обоснованность формул. Такая проверка не заменяет решение, но помогает убедиться, что математическая запись описывает нужную ситуацию.
Тело движется с постоянной скоростью 6 м/с в течение 10 с. Нужно составить документальную модель и найти путь. Из условия известно, что скорость не меняется, поэтому подходит зависимость пути от скорости и времени. Все величины относятся к одному движению.
Обозначим путь через s, скорость через v, время через t. Запишем исходные данные: v = 6 м/с, t = 10 с. Искомая величина — s, её единица измерения будет метр.
При постоянной скорости путь равен произведению скорости на время: s = vt. Подставим значения: s = 6 · 10 = 60 м. Единицы согласуются, потому что (м/с) · с = м.
Ответ: модель включает s = vt, v = 6 м/с, t = 10 с и допущение о постоянной скорости; путь равен 60 м. Результат положителен и выражен в подходящих единицах. Если бы скорость менялась, эта простая зависимость могла бы не описывать движение.
Цена одного товара составляет 4 рубля, а общий бюджет — не более 25 рублей. Требуется описать стоимость покупки и определить допустимое количество одинаковых товаров. Обозначим количество через n, стоимость через C, цену — через параметр p. Поскольку товары покупают поштучно, количество должно быть целым и неотрицательным.
Запишем зависимость стоимости от цены и количества: C = pn. Из условия p = 4 руб., а ограничение бюджета B = 25 руб. задаёт условие C ≤ B. Значит, 4n ≤ 25.
Разделим обе части неравенства на 4 и получим n ≤ 6,25. Но n не может быть дробным, поэтому допустимы целые значения от 0 до 6. Если требуется именно покупка хотя бы одного товара, нижнюю границу меняют на 1.
Ответ: модель задают формулы C = pn и C ≤ B, где p = 4 руб., B = 25 руб., а n — целое неотрицательное число. Можно купить не более 6 товаров. Проверка: 6 товаров стоят 24 рубля, а 7 товаров — 28 рублей, что превышает бюджет.
Периметр прямоугольного участка равен 30 м, а длина на 3 м больше ширины. Нужно составить модель, найти размеры и проверить, подходят ли они для участка. Обозначим ширину через x, а длину через y. Размеры участка должны быть положительными.
Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме соседних сторон, поэтому 2(x + y) = 30. Из условия о разнице сторон получаем y = x + 3. Эти зависимости непосредственно переводят оба словесных условия в уравнения.
Подставим y = x + 3 в первое уравнение: 2(x + x + 3) = 30. Тогда 4x + 6 = 30, откуда x = 6 м, а y = 9 м. Оба значения положительны, значит, ограничение на размеры соблюдено.
Ответ: модель состоит из уравнений 2(x + y) = 30 и y = x + 3 при x > 0 и y > 0. Ширина участка равна 6 м, длина — 9 м. Подстановка даёт периметр 2(6 + 9) = 30 м, поэтому результат согласуется с условием.
Формулы без пояснения обозначений трудно проверить: читатель не знает, какие величины связывают символы. Так делают, когда стремятся сразу перейти к вычислениям и считают смысл букв очевидным. Укажите рядом с каждой буквой её значение и единицу измерения, затем спросите себя, можно ли понять запись без догадок. Если нет, пояснений не хватает.
Подмена условия удобной, но необоснованной зависимостью приводит к решению другой задачи. Ошибку допускают, когда вспоминают знакомую формулу, не проверяя, подходит ли она описанной ситуации. Для самопроверки объясните словами происхождение каждой формулы и найдите в условии данные, которые её обосновывают. Если такого обоснования нет, зависимость нужно пересмотреть.
Смешение исходных данных, искомых величин и параметров скрывает смысл вычислений. Например, можно случайно подставить искомое значение как известное или принять меняющуюся величину за постоянную. Разнесите величины по трём группам и проверьте, какую роль каждая играет в решении. После этого должно быть ясно, откуда берётся каждое число в формуле.
Если не указать единицы измерения или ограничения, вычисления могут дать физически невозможный результат. Эту ошибку допускают, потому что формулы часто выглядят верно и без единиц, а ограничения кажутся очевидными. Проверьте, согласуются ли единицы в обеих частях зависимости, и запишите допустимые значения: например, длина положительна, а количество товаров — целое. Затем сравните ответ с этими условиями.
Для составления модели нужно уметь выделять в условии известные и неизвестные данные, обозначать величины и работать с формулами и уравнениями. Эти умения помогают перейти от словесного описания к математической записи и объяснить связи между величинами. Если обозначения или уравнения пока вызывают затруднения, стоит сначала повторить соответствующие темы. После построения документальная модель становится основой компьютерной модели и расчётов с помощью программных средств.
Чем математическая модель отличается от исходной ситуации?
Исходная ситуация включает множество свойств и подробностей, а математическая модель сохраняет только те, которые нужны для ответа на вопрос задачи. Например, при расчёте пути учитывают скорость и время, но не цвет движущегося тела.
Как понять, какие величины нужно включить в модель?
Сначала выясните, что требуется найти, а затем определите, какие известные данные и связи помогают получить результат. Величины, которые не влияют на ответ, в модель обычно не включают.
Нужно ли указывать единицы измерения у всех величин?
Указывайте единицы у величин, для которых они имеют значение: например, у пути, времени, скорости и цены. Это помогает заметить несогласованность данных и не смешать, например, метры с километрами.
Зачем записывать допущения и ограничения?
Они показывают, при каких условиях модель описывает ситуацию и какие значения допустимы. Без ограничений расчёт может дать формально правильный, но невозможный результат, например отрицательную длину.
Как проверить, что математическая модель составлена правильно?
Сверьте формулы и условия с исходным описанием: каждая связь должна иметь обоснование. Проверьте смысл обозначений, единицы измерения, ограничения и то, что полученный результат подходит для ситуации.
21.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)
