24.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)

Определения и обозначения

Математическая модель — описание существенных свойств объекта или процесса с помощью величин и математических соотношений. Она нужна, чтобы выделить то, что влияет на решение задачи, и выразить связи точно, а не только словами. Например, площадь прямоугольника описывают формулой S = ab, где a и b — его стороны.

Документальная математическая модель — модель, зафиксированная в документе в виде текста, формул, таблиц и пояснений. Такое оформление нужно, чтобы модель могли прочитать и проверить другие люди, а обозначения не пришлось угадывать. В документе можно отдельно указать условие, данные, допущения и математические записи.

Этап 3а — этап разработки математической модели, на котором переходят от анализа задачи к формальному описанию её условий и связей. Сначала важно понять, что известно и что требуется найти, а затем перенести это в систему величин и зависимостей. Так становится яснее, какие именно вычисления или дальнейшие действия нужны.

Переменная модели — величина, значение которой может изменяться и от которой зависит результат. Её вводят, когда нужно описать возможные ситуации или найти неизвестное значение. Например, если рассматривают объём воды в баке в разные моменты, время t выступает переменной.

Как это устроено

Разработка модели начинается с отбора существенных свойств объекта и условий задачи. Причина в том, что описание всех деталей сделало бы модель громоздкой, но не обязательно помогло бы найти ответ. Нужно оставить только то, что может изменить искомый результат. Например, при расчёте площади участка важны его длина и ширина, а цвет ограды на площадь не влияет.

Затем выбирают величины, которыми будет описана задача. Известные значения записывают как исходные данные или параметры, а неизвестные и меняющиеся величины задают как переменные. Такое разделение помогает не перепутать то, что уже дано, с тем, что требуется определить. Для каждой величины полезно сразу указать обозначение и единицу измерения.

Связи между величинами устанавливают по условию задачи, известным закономерностям и допущениям. Одного набора чисел недостаточно: модель должна объяснять, как эти числа связаны с результатом. Если связь основана на упрощении, его нужно назвать явно. Например, постоянная скорость означает, что за одинаковые промежутки времени поступают одинаковые объёмы воды.

После выбора связей их записывают математически: формулой, уравнением, неравенством или системой соотношений. Такая запись позволяет выполнять расчёты и проверять, следует ли результат из исходных данных. Рядом поясняют обозначения, чтобы формула читалась однозначно. Например, запись V(t) = V₀ + qt понятна, если указано, что V₀ — начальный объём, q — скорость поступления, а t — время.

Готовую модель сверяют с условием задачи. Это нужно, чтобы заметить пропущенные величины, неверные ограничения или несогласованные единицы до начала вычислений. Проверяют, действительно ли описаны все существенные условия и не противоречат ли друг другу допущения. Если модель не соответствует условию, её исправляют, а не пытаются получить ответ из неподходящей формулы.

Элементы документальной математической модели

Пользуйтесь таблицей как перечнем для составления и проверки модели: заполните подходящие элементы, а затем ответьте на контрольные вопросы. Если на какой-то вопрос нельзя ответить, описание стоит уточнить. Не каждой задаче нужны сложные ограничения, но их отсутствие тоже должно соответствовать условию.

Разбор задач

Площадь прямоугольного участка

Условие. Для прямоугольного участка известны длина и ширина. Нужно составить модель для вычисления его площади. Важно не подменять модель конкретными числами, если значения размеров в условии не приведены.

1. Обозначим длину участка через a, ширину — через b, а площадь — через S. В качестве исходных данных задаются a и b, а искомая величина — S.
2. Поскольку участок имеет форму прямоугольника, площадь равна произведению длины на ширину. Записываем зависимость S = ab.
3. Указываем единицы: если a и b измерены в метрах, то S выражается в квадратных метрах. Размеры должны быть заданы в согласованных единицах.

Ответ. Модель: S = ab, где a — длина, b — ширина, S — площадь прямоугольника. Если размеры даны в метрах, площадь получится в м².

Объём воды в баке

Условие. В бак поступает вода с постоянной скоростью, известны начальный объём и скорость поступления. Требуется записать объём воды через время. Постоянство скорости — условие, от которого зависит выбранная зависимость.

1. Обозначим начальный объём через V₀, скорость поступления — через q, время — через t, а объём через t — через V(t). Величины V₀ и q являются исходными параметрами, время t — переменная.
2. За время t поступит объём qt: постоянная скорость q показывает, сколько объёма добавляется за единицу времени. К начальному запасу прибавляем поступившую воду и получаем V(t) = V₀ + qt.
3. Если V₀ задан в литрах, q — в литрах за минуту, а t — в минутах, то qt выражается в литрах. Модель предполагает, что скорость не меняется и бак не переполняется.

Ответ. V(t) = V₀ + qt при постоянной скорости поступления и отсутствии переполнения бака.

Покупка товара в пределах бюджета

Условие. Известны цена одной единицы товара и бюджет. Нужно составить модель, которая позволяет определить максимальное целое число единиц, которое можно купить. Здесь необходимо учесть, что количество товара не бывает дробным или отрицательным.

1. Обозначим цену единицы через p, бюджет — через B, а количество покупаемых единиц — через n. Величины p и B известны, n — искомая целая неотрицательная переменная.
2. Стоимость покупки равна pn и не должна превышать бюджет. Поэтому записываем ограничение pn ≤ B при n ∈ целых неотрицательных числах.
3. Чтобы получить максимальное количество, выбирают наибольшее целое n, удовлетворяющее неравенству. Например, если p = 7 и B = 30, то 7n ≤ 30, значит, n = 4, поскольку 28 ≤ 30, а 7 · 5 = 35 больше бюджета.

Ответ. Модель: найти наибольшее целое n ≥ 0, для которого pn ≤ B. При цене 7 и бюджете 30 максимальное количество равно 4.

Типичные ошибки

Включать в модель все подробности описания объекта — значит перегружать её сведениями, не влияющими на ответ. Так делают, потому что кажется, будто чем больше деталей, тем точнее модель. Проверьте каждую деталь вопросом: изменится ли результат, если её убрать? Если нет, она обычно не нужна.

Путаница между исходными данными и искомой величиной приводит к неверному выбору обозначений и связей. Её допускают, когда записывают числа, не решив, что именно дано, а что требуется найти. Сверьте обозначения с условием и отдельно подпишите известные и неизвестные величины.

Формула без пояснений и единиц измерения может быть понята по-разному или оказаться непроверяемой. Часто символы кажутся очевидными автору записи, но читатель не знает, что они обозначают. Проверьте, расшифрована ли каждая буква и согласуются ли единицы в обеих частях зависимости.

Если не назвать допущения и ограничения, формулу можно применить в ситуации, где она уже неверна. Например, зависимость для постоянной скорости не подходит, если скорость меняется. Проверьте себя: перечислены ли условия, при которых действует модель, и не выходят ли рассматриваемые значения за эти границы?

Связь с другими темами

Перед построением модели нужно уметь анализировать условие: находить известные и неизвестные величины, понимать ограничения и применять базовые математические зависимости. Эти навыки помогают обосновать каждую запись, а не выбирать формулу наугад. После составления документальная модель становится основой следующего этапа — её реализации и исследования с помощью компьютера. Компьютер может выполнять расчёты, но корректность исходной модели всё равно зависит от того, насколько точно сформулированы условия и связи.

Что запомнить

• Модель описывает не весь объект, а только важные для задачи свойства.
• Исходные данные, параметры и искомые величины нужно различать.
• Связи между величинами должны следовать из условия или обоснованных допущений.
• Каждое обозначение в модели необходимо пояснить.
• Единицы измерения должны быть согласованы.
• Модель проверяют на соответствие условию задачи.