10. Понятие «истина» и «ложь»

Определения и обозначения

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Оно сообщает какое-то утверждение, а не спрашивает и не побуждает к действию. Это понятие помогает отбирать предложения, с которыми можно рассуждать в логике.

Истинное высказывание — высказывание, содержание которого соответствует действительности или установленному факту. Например, утверждение «У квадрата четыре стороны» истинно по определению квадрата. Такая оценка показывает, что сообщённое в высказывании верно.

Ложное высказывание — высказывание, содержание которого не соответствует действительности или установленному факту. Например, «10 меньше 4» — ложное утверждение, потому что при сравнении чисел получается обратное. Оно всё же остаётся высказыванием: его можно проверить и получить определённую оценку.

Истинность высказывания — значение, показывающее, является ли высказывание истинным или ложным. Иными словами, это результат проверки содержания утверждения. Понятие истинности нужно, чтобы различать верные и неверные высказывания и выполнять с ними логические действия.

Как это устроено

Высказывание должно что-либо сообщать, потому что только содержание можно сопоставить с действительностью. Если предложение ничего не утверждает, у него нет факта, который можно было бы проверить. Поэтому сначала выясняют, какое именно утверждение сделано, а уже затем оценивают его истинность.

Вопросы и команды отличаются от утверждений своей целью: вопрос просит сообщить ответ, а команда требует совершить действие. Например, «Который час?» не говорит, сколько сейчас времени, а «Откройте учебник» не описывает факт. Значит, для таких предложений нельзя установить истинность или ложность — они не являются высказываниями.

Истинность зависит от того, соответствует ли содержание фактам, а не от того, кто произнёс слова и насколько уверенно он это сделал. Человек может ошибаться, даже если говорит убедительно, а сомнение говорящего не превращает верное утверждение в ложное. Поэтому проверяют само утверждение, а не интонацию или мнение его автора.

Проверять высказывание можно по наблюдаемым фактам, определениям и условиям задачи. Например, утверждение о делимости числа проверяют вычислением, а свойство геометрической фигуры — её определением. Если данных для проверки не хватает, нельзя подменять их догадкой: нужно найти нужное условие или уточнить содержание предложения.

Предложение с переменной зависит от того, какое значение ей присвоено. «x больше 5» при x = 7 превращается в истинное утверждение, а при x = 2 — в ложное. Без значения x нельзя однозначно понять, какой факт утверждается, поэтому оценка пока не определена. Условия задачи могут задать значение переменной и тем самым сделать проверку возможной.

Примеры предложений и их логическая оценка

В таблице каждое предложение сначала проверяется на то, сообщает ли оно утверждение. Если это высказывание, его содержание сопоставляют с фактами; если это вопрос или команда, указывают причину, по которой оценка невозможна. Для предложения с переменной важно отдельно проверить, задано ли её значение.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие предложения являются высказываниями: «Вода замерзает при 0 °C», «Сколько будет 2 + 2?», «Закрой окно». Нужно выяснить, сообщает ли каждое предложение утверждение и можно ли проверить его как истинное или ложное.

1. Первое предложение повествовательное: оно утверждает, при какой температуре замерзает вода. Его можно проверить по известному факту, поэтому это высказывание.
2. Второе предложение задаёт вопрос и просит ответ. Само по себе оно не утверждает, чему равна сумма, поэтому высказыванием не является.
3. Третье предложение побуждает закрыть окно. Это команда, а не сообщение о факте, поэтому оценить её как истинную или ложную нельзя.

Ответ: высказывание только «Вода замерзает при 0 °C»; вопрос и команда высказываниями не являются.

Задача 2. Установите истинность высказываний: «12 делится на 3», «9 — чётное число», «У квадрата четыре стороны». Для каждого предложения сначала определим, что именно утверждается, затем проверим утверждение с помощью математических фактов и определений.

1. 12 делится на 3 без остатка, потому что 12 : 3 = 4. Значит, первое высказывание истинно.
2. Чётное число делится на 2 без остатка, а 9 при делении на 2 даёт остаток 1. Значит, утверждение «9 — чётное число» ложно.
3. По определению квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны и углы прямые. Следовательно, у квадрата четыре стороны, и третье высказывание истинно.

Ответ: первое и третье высказывания истинны, второе — ложно. Проверка опирается не на то, насколько правдоподобно звучат слова, а на вычисление и определение.

Задача 3. Для высказывания «x больше 5» определите истинность при x = 7, x = 5 и x = 2; объясните, почему без значения x оценить его нельзя. Здесь нужно подставить каждое заданное число и сравнить его с 5.

1. При x = 7 получаем утверждение «7 больше 5». Оно истинно.
2. При x = 5 получается «5 больше 5». Это неверно, потому что числа равны, поэтому высказывание ложно.
3. При x = 2 получаем «2 больше 5». Это тоже неверно, значит, высказывание ложно.

Ответ: при x = 7 высказывание истинно, при x = 5 и x = 2 — ложно. Без значения x неизвестно, какое число сравнивают с 5, поэтому однозначную оценку дать нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка — считать вопрос или команду высказыванием. Их принимают за утверждения, потому что они тоже составлены из слов и имеют смысл, однако смысл у них другой: вопрос запрашивает сведения, а команда побуждает к действию. Проверь себя: попробуй ответить, какой именно факт предложение утверждает; если такого факта нет, оценка «истинно» или «ложно» неприменима.

Не следует объявлять предложение с переменной истинным или ложным, если её значение не задано. Иногда ученик мысленно подставляет удобное число, хотя в условии этого нет, и получает случайный результат. Проверь себя: указано ли значение переменной или способ его найти? Если нет, содержание предложения ещё нельзя оценить однозначно.

Ложное высказывание иногда путают с предложением, которое вообще не является высказыванием. Причина в том, что оба варианта не дают верного факта, но у ложного утверждения есть проверяемое содержание, а вопрос или команда ничего не утверждают. Для самопроверки сначала реши, можно ли проверить предложение, и лишь потом выбирай между «истинно» и «ложно».

Убедительное звучание не доказывает истинность высказывания. Можно довериться уверенной интонации или авторитету говорящего, но человек способен ошибаться. Проверь себя: найди факт, определение или условие, с которым можно сравнить содержание утверждения; если проверки нет, одной уверенности недостаточно.

Связь с другими темами

Для изучения темы пригодится умение различать повествовательные, вопросительные и побудительные предложения: это помогает понять, где есть утверждение. Также важно внимательно читать условия задачи, потому что в них могут быть заданы факты и значения переменных. Без этих навыков легко оценить не то содержание или сделать вывод без достаточных данных.

Понятие истинности понадобится при изучении логических операций и составных высказываний, которые строят из нескольких утверждений. Оно также помогает записывать условия в программах: компьютер проверяет, выполняется ли условие, и выбирает дальнейшее действие. Поэтому умение различать истину и ложь связывает рассуждения с алгоритмами.

Что запомнить

• Высказывание сообщает факт, который можно оценить как истинный или ложный.
• Вопросы и команды не являются высказываниями.
• Истинное высказывание соответствует фактам или установленным условиям.
• Ложное высказывание имеет определённую, но неверную истинность.
• Для оценки высказывания с переменной нужно знать её значение.
• Уверенность говорящего сама по себе не определяет истинность высказывания.