Числа, которые больше 1000

Определения и обозначения

Многозначное число — число, для записи которого используют несколько цифр. Например, 3 482 состоит из четырёх цифр. Значение каждой цифры зависит не только от неё самой, но и от места, которое она занимает.

Разряд — место цифры в записи числа. Разряды называют единицами, десятками, сотнями, единицами тысяч, десятками тысяч, сотнями тысяч и далее. Название разряда помогает понять, сколько именно единиц этого вида показывает цифра.

Класс — группа из трёх разрядов, если считать справа налево. Выделяют класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и следующие классы. Классы упрощают чтение длинных чисел: по ним легче определить, где в числе тысячи или миллионы.

Разрядная единица — единица, соответствующая определённому разряду: единица, десяток, сотня, тысяча и так далее. Например, разрядная единица разряда десятков тысяч — один десяток тысяч. Она нужна, чтобы выражать значение цифры: 4 в разряде десятков тысяч означает 40 000.

Как это устроено

Наша система счисления называется десятичной, потому что её основой служит число десять. Когда единиц одного разряда становится десять, их можно объединить в одну единицу следующего разряда: десять единиц образуют десяток, десять десятков — сотню, десять сотен — тысячу. Благодаря этому правило записи остаётся одинаковым и для небольших, и для очень больших чисел. Цифра 6, например, может обозначать шесть единиц или шесть тысяч — это зависит от её позиции.

Разряды объединяют по три, потому что в каждом классе удобно отдельно видеть единицы, десятки и сотни. Границы между классами помогают не сбиться при чтении длинной записи. Поэтому в числе 582 314 цифры 582 относятся к классу тысяч, а 314 — к классу единиц. При записи классы часто отделяют пробелами, чтобы их было легче различать.

Чтобы прочитать число, сначала мысленно раздели его на классы по три цифры, двигаясь справа налево. Затем читай каждый класс слева направо и добавляй название класса: например, «тысяч» или «миллионов». Внутри каждого класса учитывай, какие цифры стоят в сотнях, десятках и единицах. Класс, в котором все цифры нулевые, обычно не называют, но его место в записи сохраняют.

Число по названию записывают, определяя, сколько единиц каждого разряда названо. Например, в словах «тридцать пять тысяч восемь» есть 3 десятка тысяч, 5 единиц тысяч и 8 единиц. Между тысячами и единицами отсутствуют сотни, десятки тысяч? Нет: десятки тысяч уже учтены, а в классе единиц нет сотен и десятков. Поэтому запись будет 35 008: нули оставляют на местах отсутствующих сотен и десятков.

Сравнивать многозначные числа удобно начиная с самой старшей части записи. Если цифр в одном числе больше, оно больше: в нём есть разряд, которого нет у второго числа. Когда количество цифр одинаковое, сравнивают цифры слева направо — сначала сотни тысяч или другой старший разряд, затем следующий. Как только найдено различие, дальнейшие разряды уже не влияют на результат сравнения.

Разряды и классы многозначного числа

Чтобы найти значение цифры, сначала определи её разряд по месту в записи, а затем умножь разрядную единицу на эту цифру. Например, цифра 4 в разряде сотен тысяч обозначает 400 000. Таблица показывает, как устроены классы и как соотносятся названия разрядов с их значениями.

Разбор задач

Задача 1. Прочитать число 7 024.

1. Разделим запись на классы: слева стоит класс тысяч — 7, справа класс единиц — 024.
2. Класс тысяч читается как «семь тысяч».
3. В классе единиц 0 сотен, 2 десятка и 4 единицы, поэтому читаем «двадцать четыре». Ноль сотен не произносим, но он показывает место цифр в записи.

Ответ: семь тысяч двадцать четыре.

Задача 2. Записать цифрами число «тридцать пять тысяч восемь».

1. Сначала определим класс тысяч: «тридцать пять тысяч» — это 35 тысяч, значит, в нём стоят цифры 3 и 5.
2. В классе единиц названо только восемь единиц. Значит, сотен и десятков нет, а цифра 8 занимает разряд единиц.
3. Запишем классы рядом: 35 и 008. Два нуля нужны, чтобы восьмёрка осталась в разряде единиц, а не переместилась в разряд сотен.

Ответ: 35 008.

Задача 3. Сравнить 408 215 и 41 982, затем разложить большее число на разрядные слагаемые. Разрядные слагаемые — это значения ненулевых цифр числа, сложенные вместе.

1. Посчитаем цифры: в 408 215 их шесть, а в 41 982 — пять.
2. Число с шестью цифрами больше числа с пятью, поэтому 408 215 > 41 982. Сравнивать остальные разряды для этого вывода не требуется.
3. В числе 408 215 цифра 4 обозначает 400 000, цифра 8 — 8 000, цифра 2 — 200, цифра 1 — 10, цифра 5 — 5. Цифра 0 не даёт слагаемого, поскольку ноль единиц тысяч в сумму не добавляет.

Ответ: 408 215 > 41 982; 408 215 = 400 000 + 8 000 + 200 + 10 + 5.

Типичные ошибки

Если читать цифры подряд, не называя классы, можно перепутать тысячи с сотнями или неверно произнести число. Обычно это случается, когда запись не разделили справа налево на группы по три цифры. Проверь себя: отметь границы классов и прочитай их слева направо, называя класс тысяч или миллионов там, где он есть.

При записи числа по названию иногда пропускают нули в пустых разрядах. Тогда соседние цифры сдвигаются, и получается другое число; например, вместо 35 008 можно ошибочно написать 358. После записи проверь, сколько цифр должно быть в каждом классе и на каких местах стоят названные единицы.

Нельзя считать, что цифра всегда имеет одно и то же значение. Например, цифра 3 в разряде единиц означает 3, а в разряде тысяч — 3 000. Ошибку допускают, если замечают саму цифру, но не её место. Чтобы проверить значение, назови разряд и представь цифру как соответствующее количество разрядных единиц.

Сравнение с младших разрядов может привести к неверному ответу: единицы не перевесят различие в сотнях тысяч. Причина ошибки — движение по записи справа налево вместо сравнения старших разрядов. Проверь порядок: сначала посчитай цифры, а при одинаковом их количестве сравнивай записи слева направо до первого различия.

Связь с другими темами

Для работы с большими числами нужно знать состав числа и названия единиц, десятков и сотен. Также важно уметь определять значение цифры в трёхзначной записи: этот навык переносится на новые разряды без изменения правила. Десять единиц одного разряда по-прежнему составляют одну единицу следующего.

Чтение, запись и сравнение больших чисел нужны при вычислениях и работе с величинами. С ними записывают результаты измерений, считают предметы и сравнивают количества. Понимание разрядов помогает не только прочитать число, но и разложить его на части для дальнейших действий.

Что запомнить

• В десятичной системе десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего.
• Разряды объединяют в классы по три, считая справа налево.
• Значение цифры зависит от её места в записи числа.
• Нули сохраняют места пустых разрядов.
• Многозначное число читают по классам слева направо.
• При сравнении сначала учитывают количество цифр, затем сравнивают цифры по разрядам слева направо.