Диаграммы

Определения и обозначения

Диаграмма — наглядное представление числовых данных с помощью геометрических фигур. Она помогает быстро заметить, какие значения больше, какие меньше и как данные распределены. Например, сравнить числа по длине столбцов часто проще, чем выискивать их в таблице.

Столбчатая диаграмма — изображение данных прямоугольными столбцами. Каждому значению соответствует столбец, а его высота показывает величину этого значения по выбранной шкале. Поэтому более высокий столбец обозначает большее число, если шкала у всех столбцов одна и та же.

Круговая диаграмма — круг, разделённый на части, каждая из которых соответствует одной категории данных. Весь круг представляет общее количество, а размеры частей показывают доли этого целого. Такая диаграмма помогает увидеть, какую часть всего составляют отдельные группы.

Масштаб диаграммы — соответствие между числовой единицей и длиной или высотой изображения. Например, одному делению на вертикальной шкале могут соответствовать 10 единиц. Масштаб позволяет показать большие числа на листе подходящего размера, не рисуя столбцы чрезмерно высокими.

Как это устроено

Чтобы перейти от таблицы к диаграмме, сначала решают, что именно нужно показать: сравнение категорий или части одного целого. Затем выбирают вид диаграммы, подписывают категории и переносят числовые значения. Подписи нужны, чтобы было ясно, какой столбец или сектор относится к каждому названию. Если забыть их, изображение останется наглядным, но его смысл будет трудно восстановить.

В столбчатой диаграмме все столбцы делают одинаковой ширины и ставят на одну начальную линию. Тогда различие их высот связано только с различием значений, а не с формой или положением столбцов. Если ширины различаются, широкий столбец может казаться важнее, даже когда значение у него меньше. Общая линия основания позволяет честно сравнивать высоты.

Когда значения велики, выбирают шкалу с шагом больше единицы: например, одна отметка может обозначать 10, 100 или другое удобное число. Шаг подбирают так, чтобы самый высокий столбец поместился, а значения можно было достаточно точно считывать. Масштаб обязательно обозначают на оси, иначе нельзя понять, сколько единиц приходится на одно деление. Без подписи даже правильно нарисованная диаграмма допускает неверное прочтение.

Для круговой диаграммы сначала находят сумму всех значений: она представляет весь круг. Каждая категория занимает часть круга, соответствующую её доле от этой суммы. Например, если категория составляет половину общего количества, её сектор занимает половину круга. Поэтому нельзя строить сектора, ориентируясь только на отдельные числа: нужно соотносить каждое из них с целым.

Читать диаграмму удобно в определённом порядке: сначала изучить заголовок и подписи, затем шкалу или обозначение целого и только после этого считывать значения. Так можно найти отдельное число, сравнить несколько категорий или определить разность. Например, чтобы узнать, насколько одно значение больше другого, сначала считывают оба числа, а затем вычитают меньшее из большего. Вывод должен опираться на значения, а не только на общее впечатление от изображения.

Виды диаграмм и способы представления данных

Сначала определите, что требуется увидеть: разницу между отдельными числами или распределение общего количества на части. Для сравнения значений удобнее столбцы, а для показа состава целого — круг. В обоих случаях проверьте подписи, чтобы правильно связать изображение с данными.

Разбор задач

Задача 1. В таблице указано, сколько книг прочитали за неделю три ученика: Аня — 4, Борис — 6, Вера — 3. Постройте столбчатую диаграмму по данным таблицы. Здесь наибольшее значение равно 6, поэтому достаточно шкалы от 0 до 6 с шагом 1. Столбцы будут показывать количество книг каждого ученика.

1. Начертите вертикальную шкалу от 0 до 6, отметьте деления через 1 и подпишите значения. Такой шаг удобен, потому что числа небольшие и каждое можно точно отложить.
2. Подпишите под будущими столбцами имена: Аня, Борис и Вера. Отметьте для каждого имени одинаковое место и отведите столбцам равную ширину.
3. От общей нижней линии постройте столбцы высотой 4, 6 и 3 деления соответственно. Проверьте, что столбец Бориса выше остальных, а столбец Веры ниже: это соответствует значениям таблицы.

Ответ: на диаграмме должны быть три столбца высотой 4, 6 и 3 единицы для Ани, Бориса и Веры. Можно быстро увидеть, что больше всего книг прочитал Борис. Равные ширина и основание столбцов позволяют сравнить именно их высоты.

Задача 2. По столбчатой диаграмме количества осадков за четыре месяца определите самый дождливый месяц, самый сухой месяц и разницу между ними. По шкале видно: в апреле выпало 30 мм, в мае — 50 мм, в июне — 20 мм, в июле — 40 мм. В этом примере деление шкалы равно 10 мм. Нужно сравнить все четыре значения.

1. Сначала найдите столбец, который поднимается выше остальных. Это май со значением 50 мм, значит, он был самым дождливым месяцем.
2. Найдите самый низкий столбец: он соответствует июню и значению 20 мм. Значит, июнь был самым сухим из указанных месяцев.
3. Вычтите меньшее значение из большего: 50 − 20 = 30 мм. Перед вычислением убедитесь, что оба числа считаны по одной и той же шкале.

Ответ: самый дождливый месяц — май, самый сухой — июнь, разница составляет 30 мм. Сначала нужно было прочитать высоты столбцов по шкале, а уже потом сравнивать числа. Если принять каждую отметку за 1 мм, хотя шаг равен 10 мм, ответ получится неверным.

Задача 3. В кружке 20 учеников: 10 занимаются рисованием, 6 — музыкой, остальные — шахматами. Определите число шахматистов и представьте распределение круговой диаграммой. Два известных значения вместе дают 16 учеников, поэтому оставшихся нужно найти вычитанием из общего числа. Затем каждую группу следует соотнести с 20 учениками.

1. Найдите число занимающихся шахматами: 20 − 10 − 6 = 4. Проверка: 10 + 6 + 4 = 20, значит, группы вместе составляют всё количество учеников.
2. Определите доли: рисование — 10 из 20, то есть ½ круга; музыка — 6 из 20, или 3/10 круга; шахматы — 4 из 20, или 1/5 круга. Эти доли в сумме дают целый круг.
3. Разделите круг на части пропорционально найденным долям и подпишите каждую категорию. Сектор рисования должен быть самым большим, сектор шахмат — самым маленьким, а сектор музыки — промежуточным.

Ответ: шахматами занимаются 4 ученика; круговая диаграмма состоит из долей 10/20, 6/20 и 4/20. Для точного построения сектора можно перевести долю в часть полного угла 360°: получатся 180°, 108° и 72°. В сумме эти углы дают 360°, поэтому круг целиком распределён между тремя занятиями.

Типичные ошибки

Сравнивать столбцы, отсчитывая их высоту от разных начальных уровней, — ошибка: тогда разница положения оснований искажает сравнение. Её допускают, если столбцы нарисованы небрежно или их основания не проверены. Все столбцы должны опираться на одну линию. Для проверки сравните именно расстояние от общей линии до верхушки каждого столбца.

Можно принять каждую отметку шкалы за единицу и неверно считать значение. Такое случается, если не посмотреть на числа у делений: между соседними отметками может быть, например, 5 или 10 единиц. Перед считыванием найдите шаг шкалы и единицы измерения. Проверьте результат по соседним подписанным отметкам, а не только по числу рисок.

Если строить сектора круга по отдельным числам, не сравнивая их с общей суммой, части могут не составить целое. Причина в том, что число само по себе не показывает, какую долю от всех данных занимает категория. Сначала сложите значения и найдите долю каждой категории от этой суммы. Для проверки убедитесь, что все доли вместе дают целое, а все сектора заполняют круг.

Одинаковая высота столбцов на разных диаграммах не всегда означает одинаковые значения. Ошибку допускают, когда сравнивают изображения, не проверив подписи осей и шаг шкалы. Например, на одной диаграмме деление может равняться 1, а на другой — 10. Перед сравнением прочитайте шкалы обеих диаграмм и только затем делайте вывод о числах.

Связь с другими темами

Для работы с диаграммами пригодятся умения читать и составлять таблицы, сравнивать натуральные числа и находить разность. Таблица помогает получить и проверить исходные значения, а вычисление разности — выразить, насколько одна величина больше другой. Если уверенно выполнять эти действия, построение диаграммы становится последовательным переносом данных в наглядную форму.

Диаграммы встречаются при изучении дробей и процентов, потому что круг наглядно показывает части целого. Они также помогают собирать и представлять статистические данные, например результаты опроса или наблюдений. В таких задачах сначала получают числа, затем выбирают способ изображения и делают выводы по диаграмме.

Что запомнить

• Диаграмма наглядно представляет числовые данные.
• На столбчатой диаграмме значение передаётся высотой столбца.
• Шкалу и её шаг нужно читать по подписям.
• Круговая диаграмма показывает, как целое распределено на части.
• Сумма частей круговой диаграммы равна целому.
• Для сравнения данных важно учитывать масштаб.