"Математика", Чекин А.Л.
Числовой луч помогает изображать числа точками и сравнивать их по положению. Чтобы построить его, выбирают начало отсчёта и единичный отрезок — без них нельзя определить, где должны находиться числа. Натуральные числа отмечают, откладывая единичные отрезки, а дроби — деля единичный отрезок на равные части. Координата показывает, какое число соответствует точке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовой луч — луч, на котором выбраны начало отсчёта и единичный отрезок, а числа изображаются точками. Он превращает числа в наглядные положения: по точкам можно видеть порядок чисел и сравнивать их. Чтобы построение было однозначным, нужно заранее установить, где начинается отсчёт и какова длина единицы.
Начало отсчёта — начало числового луча, которому соответствует число 0. От этой точки измеряют расстояния до всех остальных чисел, поэтому она служит общей отправной точкой. Если обозначить её буквой O, то её координата равна 0.
Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения при изображении чисел. Например, можно выбрать отрезок длиной 1 см и принять его за единицу. Тогда число 3 будет находиться на расстоянии трёх таких отрезков от начала луча.
Координата точки — число, соответствующее точке на числовом луче; её записывают рядом с точкой или в скобках после обозначения точки. Например, если точка A соответствует числу 4, можно написать A(4). Координата позволяет назвать точное значение, которое изображено точкой, а не только указать её положение.
Провести луч недостаточно, потому что сам по себе он показывает лишь направление и не задаёт расстояния между числами. На одном и том же луче отметки можно расположить по-разному, если не договориться о масштабе. Поэтому сначала выбирают начало отсчёта, соответствующее нулю, а затем единичный отрезок, который определяет расстояние от 0 до 1. После этого положение остальных чисел можно строить последовательно и одинаковым способом.
Число 1 отмечают на конце единичного отрезка, отложенного от начала луча. Чтобы изобразить число 2, от этой отметки откладывают ещё один такой же отрезок, а для числа 3 — ещё один. Равная длина шагов нужна, чтобы одинаковые изменения числа изображались одинаковыми расстояниями. Так получают отметки натуральных чисел, двигаясь от нуля вправо.
Дробь показывает, на сколько равных долей разделена единица и сколько таких долей взято. Например, для дроби 3/4 единичный отрезок делят на четыре равные части и от начала луча отсчитывают три части. Равенство частей необходимо: только тогда каждая из них соответствует одной и той же доле — одной четверти. Для дроби с другим знаменателем единицу делят на количество частей, указанное именно в этом знаменателе.
Числа возрастают при движении вправо от начала луча, потому что расстояние от нуля становится больше. Поэтому число 5 изображают дальше от начала, чем число 3, а точка с координатой 1/2 находится правее точки с координатой 1/4. Это правило согласуется с тем, что числовой луч направлен от меньших неотрицательных чисел к большим. Оно помогает понять порядок чисел, даже если их значения записаны по-разному.
Чтобы определить координату точки, нужно измерить её положение от начала отсчёта в выбранных единицах и их долях. Сначала считают целые единичные отрезки, затем — части следующего отрезка, если они есть. Например, точка после двух единичных отрезков и ещё одной четверти имеет координату 2 1/4. При сравнении двух чисел достаточно найти их точки: правее расположена точка большего числа.
| Число | Как разделить единичный отрезок | Сколько частей отложить от начала луча | Где расположить точку |
|---|---|---|---|
| Натуральное число | Не делить, использовать целые единичные отрезки | Столько единиц, сколько указано в числе | На конце последнего отложенного отрезка |
| Обыкновенная дробь | На число равных частей, указанное знаменателем | Столько частей, сколько указано числителем | На конце отсчитанной доли единичного отрезка |
| Число, записанное смешанным числом | Единицу разделить на равные части по знаменателю дробной части | Целые единицы, затем части по числителю | После целых отрезков, на нужной доле следующего |
Пользуйтесь таблицей по записи числа: сначала определите, целое оно, дробное или смешанное, затем выберите способ разметки. Проверьте, что дробные доли равны и отсчитаны от начала луча. После этого поставьте точку на конце нужного шага и подпишите её координату.
Задача. Постройте числовой луч с единичным отрезком 1 см и отметьте на нём числа 0, 1, 3 и 5. Длина единицы задана, поэтому можно точно определить расстояние от начала луча до каждой отметки. Начало луча обозначим числом 0.
Ответ. Числа 0, 1, 3 и 5 отмечены соответственно на расстояниях 0, 1, 3 и 5 см от начала луча. Отметка 0 совпадает с началом, а каждая следующая натуральная отметка получается добавлением ещё одного сантиметра. Точка числа 5 расположена правее точки числа 3.
Задача. На числовом луче с единичным отрезком 6 см отметьте числа 1/3 и 5/6. Здесь удобно выразить обе дроби в одинаковых долях единицы. Поскольку знаменатели 3 и 6, единичный отрезок можно разделить на шесть равных частей.
Ответ. Точку 1/3 нужно поставить на расстоянии 2 см от начала луча, а точку 5/6 — на расстоянии 5 см. Проверка показывает, что первая точка соответствует двум из шести частей, то есть 2/6 = 1/3. Вторая соответствует пяти таким частям.
Задача. На числовом луче единичный отрезок равен 4 см. Отметьте числа 1 1/2 и 2 1/4, а затем сравните их. У каждого числа есть целая часть и доля следующей единицы, поэтому точку надо строить после целых отрезков. Сравнить числа можно по положению полученных точек.
Ответ. Число 1 1/2 отмечается на расстоянии 6 см, а число 2 1/4 — на расстоянии 9 см от начала луча. На числовом луче точка 2 1/4 расположена правее. Поэтому 1 1/2 < 2 1/4.
Иногда числа отмечают на луче, не указывая единичный отрезок. Ошибка возникает потому, что сам луч кажется достаточной основой для рисунка, но он не задаёт расстояний между числами. Проверьте себя: должна быть известна длина от 0 до 1, а все целые шаги должны иметь ту же длину. Без масштаба рисунок не позволяет однозначно определить координаты.
При изображении дроби единичный отрезок могут разделить на части разной длины. Так происходит, когда деления делают на глаз и не проверяют равенство долей. Сравните промежутки между соседними делениями: они должны быть одинаковыми. Иначе отсчитанные части не будут означать одну и ту же дробную долю.
Ещё одна ошибка — отсчитывать дробь от отметки 1, а не от начала луча. Её часто допускают, потому что при разметке дробей внимание сосредоточено на единичном отрезке. Но координата точки показывает расстояние именно от нуля, поэтому для дроби меньше 1 отсчёт начинают у начала луча. Проверьте, совпадает ли количество частей от 0 до точки с числителем.
Можно перепутать порядок чисел с расстоянием между соседними отметками. Например, считать, что число определяется тем, насколько далеко оно от ближайшей подписанной точки. Проверяйте координату по расстоянию от начала отсчёта, а не по промежутку между другими отметками. На одном луче точка правее всегда соответствует большему числу, даже если соседние точки расставлены на разных расстояниях.
Для работы с числовым лучом нужно знать, что такое луч и отрезок, и уметь делить отрезок на равные части. Эти геометрические действия помогают задать направление, единичный масштаб и доли единицы. Если построение отрезков пока вызывает затруднения, полезно сначала потренироваться в измерении длины.
Тема опирается на знания о натуральных числах, обыкновенных дробях и единицах измерения длины. Натуральные числа задают целое количество единичных шагов, а дроби позволяют отмечать части такого шага. Измерение длины связывает числовое значение с расстоянием на рисунке.
Числовой луч пригодится при сравнении чисел, изучении координат и решении задач на числовые промежутки. Он позволяет увидеть, какое число больше, и определить, какие значения расположены между двумя заданными числами. Позже такое изображение помогает понимать расположение чисел и границ на координатной прямой.
Можно ли изобразить число на луче, если не задан единичный отрезок?
Нет, одного луча недостаточно: он задаёт направление, но не расстояния, соответствующие числам. Единичный отрезок определяет масштаб, по которому можно расположить точки.
Почему единичный отрезок нужно делить на равные части?
Дробь описывает равные доли единицы, поэтому части должны иметь одинаковую длину. Иначе отметка не будет соответствовать нужной дроби.
Как отметить на числовом луче дробь?
Разделите единичный отрезок на столько равных частей, сколько единиц в знаменателе дроби. От начала луча отсчитайте столько частей, сколько указано в числителе, и поставьте точку.
Как определить координату отмеченной точки?
Посмотрите, сколько единичных отрезков и их долей отложено от начала луча до точки. Запишите полученное число рядом с точкой или в скобках после её обозначения.
Как по числовому лучу понять, какое из двух чисел больше?
Сравните положение соответствующих точек: та, что расположена правее, имеет большую координату. Это работает потому, что числа на луче возрастают по мере удаления от начала отсчёта.
Изображение чисел на числовом луче
