"Математика", Чекин А.Л.
Длина помогает описывать расстояния между точками и размеры предметов. Её измеряют линейкой или другим прибором, сравнивая отрезок с выбранной единицей — например, сантиметром или метром. Число без единицы не сообщает, какой именно отрезок измерен. Чтобы решать практические задачи, нужно уметь читать шкалу, переводить длины из одних единиц в другие, находить неизвестную часть отрезка и вычислять периметр — длину границы многоугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина отрезка — расстояние между его концами. Её записывают числом и единицей измерения, например 7 см или 2 м. Число показывает, сколько единиц укладывается в отрезке, а единица уточняет, о каком размере идёт речь. Такое обозначение позволяет сравнивать длины и использовать их в вычислениях.
Единица длины — величина, с которой сравнивают измеряемую длину. Основные соотношения таковы: 1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1 м = 10 дм, 1 км = 1000 м. Эти соотношения нужны, чтобы выражать одну и ту же длину удобным способом: например, в сантиметрах или метрах.
Измерение длины — сравнение отрезка с выбранной единицей с помощью измерительного прибора или известного эталона. При измерении выясняют, сколько единиц помещается вдоль отрезка. Это позволяет получить не приблизительное описание «короткий» или «длинный», а точный числовой результат.
Периметр — длина границы многоугольника, которую находят сложением длин всех его сторон. Например, чтобы узнать, сколько ленты потребуется для обведения фигуры, вычисляют её периметр. При этом учитывают каждую сторону границы.
Результат зависит от выбранной единицы, потому что одна и та же длина может вместить разное число крупных и мелких единиц. Например, метр состоит из 100 сантиметров, поэтому длину в метрах выражают меньшим числом, чем в сантиметрах. Сама длина при смене единицы не меняется — меняется только способ её записи. По этой причине рядом с числом обязательно указывают единицу: запись 12 без неё не сообщает, измерены миллиметры, сантиметры или метры.
Чтобы измерить отрезок линейкой, сначала найди на шкале отметку 0 и совмести её с одним концом отрезка. Затем посмотри, у какой отметки находится второй конец: это и будет длина, если отрезок начинается точно у нуля. Начало измерения от края линейки ненадёжно, потому что её край может не совпадать с нулевой отметкой. Если ноль совместить невозможно, измерь положения обоих концов по шкале и найди разность показаний.
Перевод единиц опирается на то, сколько мелких единиц составляет одну крупную. Например, при переходе от метров к сантиметрам каждое число метров заменяют сотней сантиметров, поскольку 1 м = 100 см. При переходе от сантиметров к метрам, наоборот, считают, сколько полных сотен сантиметров содержится в длине. Удобно сначала записать нужное соотношение единиц, а затем выполнить умножение, деление или разложение на крупные единицы и остаток.
Если отрезок разделён на части, его общая длина складывается из длин всех частей. Поэтому, когда известны части, их складывают; такой способ подходит, например, для подсчёта всей длины пути из нескольких участков. Если известна длина целого и одной части, неизвестную часть находят вычитанием: из целого убирают известную часть. Перед вычислением длины должны быть выражены в одинаковых единицах, иначе числа нельзя корректно складывать или вычитать.
Периметр находят, обходя границу многоугольника и складывая длины его сторон. Каждую сторону нужно учесть один раз, даже если некоторые стороны равны. Равные стороны позволяют сократить вычисления: вместо нескольких одинаковых слагаемых можно умножить длину одной стороны на число таких сторон. Например, четыре стороны по 3 см дают периметр 4 · 3 см = 12 см.
| Что рассматриваем | Правило или соотношение | Пример применения |
|---|---|---|
| Миллиметр и сантиметр | 1 см = 10 мм | Перевод длины в миллиметры или сантиметры |
| Сантиметр и дециметр | 1 дм = 10 см | Перевод длины в сантиметры или дециметры |
| Дециметр и метр | 1 м = 10 дм | Выражение длины в метрах или дециметрах |
| Метр и километр | 1 км = 1000 м | Выражение расстояния в метрах или километрах |
| Длина составного отрезка | Длины частей складывают; неизвестную часть находят вычитанием | Нахождение длины участка или отрезка |
| Периметр многоугольника | Складывают длины всех сторон | Вычисление длины границы фигуры |
Сначала найди в таблице нужную пару единиц и запиши их соотношение. Для составного отрезка выбери сложение или вычитание в зависимости от того, известны части или целое. При вычислении периметра проверь, что учтены все стороны и все их длины выражены в одной единице.
Задача 1. Измерьте отрезок линейкой и запишите его длину в сантиметрах и миллиметрах. В условии нет самой длины или рисунка отрезка, поэтому численный результат нельзя определить заранее. Его нужно получить измерением конкретного отрезка. Действуем так:
Ответ: длина определяется по отметке у второго конца отрезка; в примере она составляет 4 см 6 мм, или 46 мм. Числа в примере показывают способ записи, а фактическое значение зависит от измеряемого отрезка.
Задача 2. Выразите 3 м 8 см в сантиметрах, а 470 см — в метрах и сантиметрах. В первой части нужно перевести метры в сантиметры, а сантиметры оставить без изменения. Во второй части требуется отделить полные сотни сантиметров, потому что каждые 100 см составляют 1 м. Запишем вычисления по отдельности:
Ответ: 3 м 8 см = 308 см; 470 см = 4 м 70 см. Проверка обратным переводом помогает убедиться, что количество сантиметров не потеряно и единицы указаны правильно.
Задача 3. Участок дороги длиной 2 км 350 м разделили на две части. Первая часть — 1 км 780 м. Найдите длину второй части. Известна длина целого участка и одной его части, значит, длину второй части найдём вычитанием. Для удобства сначала выразим обе длины в метрах. После вычисления запишем результат в километрах и метрах.
Ответ: длина второй части дороги — 570 м. Проверка подтверждает, что результат подходит: обе части вместе составляют исходные 2 км 350 м.
Записать результат без единицы. Число само по себе не показывает, сантиметры это или метры, поэтому такую запись нельзя однозначно понять. Ошибку допускают, когда сосредоточиваются только на чтении шкалы. Проверь себя: рядом с результатом измерения всегда должна стоять единица длины.
Начать измерение от края линейки, а не от нуля. Край может не совпадать с началом шкалы, поэтому показание окажется больше или меньше настоящей длины. Так происходит, если не обратить внимание на отметки на линейке. Перед измерением найди нулевую отметку, а после него проверь положение обоих концов отрезка.
Умножить или разделить не на то число при переводе единиц. Причина обычно в том, что путают соотношения разных единиц: например, сантиметр и метр соотносятся не так, как километр и метр. Перед вычислением запиши нужное равенство: 1 м = 100 см или 1 км = 1000 м. Затем проверь результат обратным переводом или оценкой: в мелких единицах число обычно больше.
Сложить не все стороны при вычислении периметра. Иногда считают только разные по длине стороны, полагая, что равные стороны можно не учитывать, либо пропускают одну сторону при обходе фигуры. Но периметр включает всю границу, и каждую сторону нужно учесть один раз. Проверь вычисление, обойдя фигуру по контуру и отметив в списке каждую сторону.
Для измерения длины нужно уметь пользоваться линейкой, читать её деления, а также складывать и вычитать натуральные числа. Эти умения помогают проверять результат и находить неизвестные участки в практических задачах. Позже длина понадобится при изучении площади и геометрических фигур: измерения сторон используют в вычислениях и построениях. Знание единиц также пригодится при работе с масштабом и при решении задач о расстояниях.
Почему у результата измерения обязательно должна быть единица?
Число показывает, сколько единиц длины содержится в измеряемом отрезке, но без названия единицы его нельзя правильно понять. Например, 5 см и 5 м — очень разные длины.
С какого деления линейки нужно начинать измерение?
Начинай с нулевой отметки, совместив её с одним концом отрезка. Если край линейки повреждён или отметка 0 недоступна, измерь положение обоих концов и вычти меньшее показание из большего.
Как перевести метры и сантиметры в сантиметры?
Один метр равен 100 сантиметрам. Чтобы перевести метры в сантиметры, умножь число метров на 100, а затем прибавь имеющиеся сантиметры: например, 3 м 8 см = 300 см + 8 см = 308 см.
Как найти длину одной части отрезка, если известны длина целого отрезка и другой части?
Из длины целого отрезка нужно вычесть длину известной части. Перед вычитанием проверь, что обе длины выражены в одинаковых единицах.
Нужно ли переводить все стороны в одну единицу перед вычислением периметра?
Да, складывать удобно и правильно, когда все стороны выражены в одной единице. После сложения можно при необходимости перевести результат в другую единицу длины.
Поупражняемся в измерении и вычислении длины
