Плоские поверхности и плоскость

Определения и обозначения

Плоская поверхность — это поверхность, к которой можно приложить линейку так, чтобы она прилегала по всей длине. Так можно представить поверхность стола или обложку книги. Определение помогает отличать ровные части предметов от тех, которые изгибаются.

Плоскость — бесконечная ровная поверхность, которую представляют как продолжение плоской поверхности во все стороны. Стол или лист бумаги дают лишь наглядное представление о ней: у реальных предметов есть края. Понятие плоскости нужно, чтобы описывать фигуры и их расположение, не ограничиваясь размерами конкретных предметов.

Геометрическая фигура — множество точек; плоскость также рассматривают как геометрическую фигуру. Это значит, что в геометрии её изучают как идеальный объект, а не как деревянную столешницу или бумагу. Такой взгляд позволяет рассуждать о точках и других фигурах на плоскости.

Как это устроено

Ровная поверхность стола помогает представить плоскость, потому что на небольшом участке её можно считать плоской. Но стол имеет края, толщину и конечные размеры, поэтому он не совпадает с плоскостью. Геометрическая модель нужна именно для того, чтобы рассуждать о поверхности без этих ограничений реального предмета.

Мысленно продолжить плоскую поверхность за края — значит представить, что она не заканчивается там, где заканчивается стол или лист. Такое продолжение нельзя сделать с самим предметом: у него остаются реальные границы. Зато в геометрии допустимо продолжать модель неограниченно, поскольку нас интересуют свойства плоскости, а не величина стола.

Плоскость считают идеальной, потому что в действительности нельзя получить поверхность, которая была бы абсолютно ровной и бесконечной. Лист может сгибаться, а на столе могут быть неровности; кроме того, у обоих есть края. В геометрии эти особенности не учитывают и пользуются точной моделью, чтобы строить ясные рассуждения.

Чтобы отличить плоскую поверхность от кривой, нужно смотреть на форму именно поверхности, а не всего предмета. На ровной поверхности стола или обложке книги линейка может прилегать на выбранном участке по всей длине. Боковая поверхность мяча изгибается, поэтому она кривая, даже если на ощупь или на рисунке выглядит гладкой.

На рисунке всю бесконечную плоскость показать нельзя: для этого понадобился бы участок без конца. Поэтому её изображают ограниченной частью, часто в виде параллелограмма. Нарисованные края нужны лишь для удобства и показывают границы изображения, а не границы плоскости; её следует мысленно продолжать за ними.

Плоская поверхность и плоскость

Сравнивай объекты по каждому признаку отдельно: так легче не спутать реальную поверхность с геометрической моделью. Например, стол помогает представить плоскость, но его края принадлежат столу, а не плоскости.

Последняя строка подсказывает, как читать чертёж: параллелограмм показывает лишь условный участок. Его стороны нельзя принимать за края всей плоскости.

Разбор задач

1. Поверхности предметов

Условие. Определи, какие поверхности предметов плоские, а какие кривые: поверхность стола, боковая поверхность мяча, обложка книги. Рассматривай форму поверхности, а не всего предмета. Проверь, можно ли представить, что линейка прилегает к ней по всей длине.

1. Выделим поверхность стола, не смешивая её с ножками. Она ровная, поэтому её можно считать плоской.
2. Рассмотрим боковую поверхность мяча. Она изгибается вокруг мяча, следовательно, это кривая поверхность.
3. Проверим обложку книги. Её ровную часть можно считать плоской, хотя сама книга как предмет имеет объём.

Ответ. Поверхность стола и обложка книги — плоские, боковая поверхность мяча — кривая. Здесь важно судить о поверхности, а не о форме предмета целиком. Гладкость мяча не делает его поверхность плоской: она всё равно изгибается.

2. Лист бумаги и стол

Условие. Объясни, что можно представить как плоскость: поверхность небольшого листа бумаги или поверхность стола. Необходимо отличить реальную поверхность от бесконечной геометрической плоскости. Для этого сначала установим, есть ли у предметов границы.

1. У листа бумаги есть края, значит, его поверхность имеет конечные размеры.
2. У стола тоже есть края, поэтому и его поверхность не бесконечна.
3. Обе ровные поверхности могут служить наглядными моделями участка плоскости. Мысленно продолжим каждую за края предмета — получим представление о плоскости.

Ответ. И лист, и стол помогают представить плоскость, но ни один из них не является всей плоскостью. Удобнее воображать плоскость как продолжение ровной поверхности за края предмета. Сам предмет остаётся конечным, а геометрическая модель границ не имеет.

3. Параллелограмм на рисунке

Условие. На рисунке ограниченный параллелограмм обозначает часть плоскости. Объясни, почему его края не являются границами всей плоскости. Необходимо различить границы условного изображения и свойства самой геометрической фигуры.

1. Сначала вспомним, что плоскость не имеет границ и продолжается во все стороны.
2. Параллелограмм занимает ограниченное место на бумаге, потому что рисунок не может показывать бесконечный участок целиком.
3. Значит, его стороны отделяют только видимую часть изображения. Мысленно продолжим эту часть за стороны параллелограмма.

Ответ. Края параллелограмма — края условного изображения участка, а не всей плоскости. Плоскость мысленно продолжается за ними без конца. Такой рисунок нужен, чтобы обозначить плоскость наглядно и не перегружать чертёж.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать плоскостью плоскую часть реального предмета. Так думают, потому что стол или лист кажутся подходящими моделями, но у них конечные размеры, а у плоскости границ нет. Проверь себя: спроси, есть ли у рассматриваемого объекта края.

• Ошибка — принимать края нарисованного параллелограмма за границы плоскости. Причина в том, что рисунок ограничен листом и его стороны хорошо видны. Проверь, что именно ограничено: плоскость или только её изображённый участок.

• Ошибка — называть поверхность мяча плоской, потому что на рисунке она выглядит гладкой. Гладкость означает отсутствие заметных шероховатостей, но не отсутствие изгиба. Проверь форму поверхности: если она огибает мяч, то она кривая.

• Ошибка — думать, что плоскость можно увидеть целиком. Мы видим только поверхность реального предмета или условную часть на чертеже, поэтому бесконечный объект целиком не помещается в поле зрения. Проверь себя: может ли изображение показать продолжение без конца? Нет, оно лишь помогает вообразить плоскость.

Связь с другими темами

Для этой темы полезно уметь отличать геометрические фигуры от реальных предметов и понимать, что поверхность — это внешняя часть предмета. Тогда проще увидеть, почему модель и сам предмет не одно и то же. При изучении точек и прямых на плоскости это различие поможет правильно читать чертежи и представлять, где расположены геометрические фигуры.

Представление о плоскости понадобится и при изучении взаимного расположения фигур. Понимание того, что плоскость продолжается за пределы рисунка, помогает не принимать условные края изображения за настоящие границы. Оно также позволяет рассуждать о фигурах независимо от размера листа, на котором их начертили.

Что запомнить

• Плоская поверхность принадлежит реальному предмету и имеет конечные размеры.
• Плоскость — идеальная геометрическая фигура.
• Плоскость не имеет границ и продолжается во все стороны.
• Ровную поверхность предмета используют как модель части плоскости.
• Плоскость на рисунке изображают условно, часто в виде параллелограмма.