"Математика", Чекин А.Л.
Уравнение помогает заменить длинное рассуждение короткой записью с неизвестным числом. По условию задачи выбирают величину, обозначают её буквой и составляют равенство, связывающее известные и неизвестные данные. Затем уравнение решают, проверяют найденное значение и отвечают на вопрос задачи. Такой способ особенно удобен, когда величины связаны несколькими действиями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство с неизвестным, которое составляют по условию задачи. Неизвестное обычно обозначают буквой, например x. Уравнение нужно, чтобы записать связь между величинами коротко и точно.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Если вместо буквы подставить корень, левая и правая части дадут одинаковые числа. Это значение помогает найти искомую величину в задаче.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что их нет. Для этого применяют известные действия и свойства равенств, сохраняя равенство левой и правой частей. Результат решения ещё не всегда является окончательным ответом задачи.
Проверка корня — подстановка найденного значения в исходное уравнение и проверка равенства. Она показывает, не допущена ли ошибка при преобразованиях или вычислениях. После этого нужно ещё сравнить результат с условием и вопросом задачи.
Сначала выбирают неизвестное: это величина, о которой спрашивается в задаче. Её обозначают буквой, потому что дальнейшие действия будут выполняться не с известным числом, а с неизвестным значением. Такой выбор уменьшает число новых обозначений и помогает сразу связать запись с вопросом.
Затем условие переводят на язык равенств. Нужно выяснить, какие величины складываются, вычитаются, сравниваются или связаны умножением, а затем записать это отношение с буквой. Например, если к неизвестному количеству добавили 7 и получили 19, возникает равенство x + 7 = 19.
Смысл задачи важно сохранять в каждой части уравнения. Левая и правая части должны обозначать одну и ту же величину или два равных результата, иначе даже правильное вычисление даст ответ не к этой задаче. Поэтому после записи полезно словами объяснить, что означает каждая часть равенства.
Составленное уравнение решают известными действиями и свойствами равенств. Можно находить неизвестный компонент действия или выполнять одинаковые преобразования с обеими частями, чтобы оставить букву отдельно. Полученный результат называют корнем уравнения и записывают с пояснением, что именно он обозначает.
После решения обязательно выполняют проверку и соотносят результат с вопросом. Подстановка в исходное уравнение выявляет вычислительную ошибку, а проверка по смыслу показывает, может ли такая величина существовать: например, количество предметов не бывает отрицательным. В ответ включают именно то, о чём спрашивалось, а не просто запись корня.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Выбор неизвестного | Обозначить буквой величину, которую требуется найти. | Буква должна иметь понятный смысл и подходящие единицы. |
| Составление уравнения | Записать связь между величинами из условия. | Не перепутать отношения «больше», «меньше», «всего», «осталось». |
| Решение уравнения | Найти значение неизвестного. | Выполнять одинаковые преобразования с обеими частями. |
| Проверка корня | Подставить найденное число в исходное уравнение. | Обе части должны иметь одинаковое значение. |
| Запись ответа | Ответить на вопрос задачи полным предложением. | Указать нужную величину и единицу измерения. |
Таблицу удобно использовать как план записи решения. Если каждый этап выполнен последовательно, легче заметить пропуск или ошибку. Особенно полезно не объединять проверку и ответ: это разные действия.
У Маши было несколько карандашей. После того как ей подарили 7 карандашей, стало 19. Сколько карандашей было сначала? Искомой является начальная величина, поэтому обозначим её буквой x.
Ответ: сначала у Маши было 12 карандашей. Полученное число отвечает именно на вопрос о начальном количестве.
В двух коробках 34 игрушки. В первой коробке на 6 игрушек больше, чем во второй. Сколько игрушек в каждой коробке? Удобно обозначить количество игрушек во второй коробке за x, потому что количество в первой тогда легко выразить через него.
Ответ: в первой коробке 20 игрушек, во второй — 14 игрушек. Разность равна 6, поэтому результат соответствует всем данным условия.
За три одинаковые тетради и ручку стоимостью 24 рубля заплатили 99 рублей. Сколько стоит одна тетрадь? Обозначим цену одной тетради за x рублей, тогда цена трёх тетрадей равна 3x.
Ответ: одна тетрадь стоит 25 рублей. Проверка подтверждает, что найденная цена даёт указанную общую стоимость.
Иногда буквой обозначают не ту величину, которую удобно искать, а потом неверно выражают остальные. Так происходит, когда не связывают выбор неизвестного с вопросом задачи. Проверьте себя: можете ли вы словами объяснить, что означает x, и выразить через него нужные величины?
Другая ошибка — механически переносить числа в уравнение, не учитывая слова «больше», «меньше», «всего» или «осталось». Причина в том, что ученик выбирает действие по одному ключевому слову, а не по всей ситуации. Прочитайте равенство и спросите, соответствует ли каждая его часть условию.
При решении можно ошибиться в вычислениях или преобразованиях, особенно если забыть выполнить действие с обеими частями равенства. Иногда найденное число сразу записывают, пропуская проверку. Подстановка корня в исходное уравнение быстро показывает такую ошибку.
Корень уравнения не всегда можно без изменений назвать ответом задачи. Например, нужно указать не просто 25, а 25 рублей и объяснить, что это цена одной тетради. Сверьте число с единицами, условием и точным вопросом.
Для решения задач уравнением нужно уметь находить неизвестный компонент арифметического действия и переводить словесные отношения в выражения. Эти навыки помогают понять, какое равенство описывает условие.
Позже такой способ пригодится при изучении более сложных уравнений, пропорций и задач на движение, работу и покупки. Чем лучше вы умеете выделять величины и их связи, тем легче составлять математическую модель новой задачи.
Как понять, какую величину обозначить буквой?
Обычно буквой обозначают величину, которую требуется найти в вопросе задачи. Если неизвестных несколько, выбирают одну, через неё выражают остальные, чтобы составить одно уравнение.
Как составить уравнение по условию задачи?
Нужно определить, как связаны величины: что складывается, вычитается, увеличивается или уменьшается. Затем записать это отношение с помощью буквы и чисел так, чтобы левая и правая части равенства имели один и тот же смысл.
Почему нельзя просто выбрать действие по ключевому слову?
Одно и то же слово может встречаться в разных ситуациях и не всегда подсказывает действие. Нужно установить связь между величинами и проверить её по смыслу всего условия, а не ориентироваться только на отдельное слово.
Чем корень уравнения отличается от ответа задачи?
Корень — значение неизвестного, при котором уравнение верно. Ответ задачи должен не только содержать это значение, но и называть нужную величину с единицей измерения или пояснением.
Как проверить, что найденное значение подходит?
Подставьте его вместо буквы в исходное уравнение и убедитесь, что равенство выполняется. Затем проверьте, соответствует ли число условию и отвечает ли оно именно на вопрос задачи.
Учимся решать задачи с помощью уравнений
