"Математика", Чекин А.Л.
Уравнение помогает решить задачу, когда известные и неизвестные величины связаны между собой. Неизвестное обозначают буквой, остальные величины выражают через неё, а условие переводят в равенство. Решив уравнение, получают значение буквы, но работа на этом не заканчивается: нужно проверить, подходит ли найденное число к задаче, и записать ответ с единицами измерения. Такой способ делает рассуждение последовательным и удобным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство с неизвестным, значение которого нужно найти. Например, в записи x + 5 = 12 неизвестно число x. Уравнение позволяет превратить условие задачи в запись, с которой можно работать по известным правилам.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Для уравнения x + 5 = 12 корень равен 7, потому что 7 + 5 = 12. Понимание этого помогает отличить решение уравнения от простого преобразования его записи.
Математическая модель задачи — запись условия с помощью чисел, букв и действий; в этой теме моделью служит уравнение. Она заменяет длинное описание краткой записью связей между величинами. Модель нужна, чтобы последовательно рассуждать и не терять важные данные условия.
Составить уравнение — значит выразить связи между известными и неизвестными величинами из условия задачи. Для этого обозначают одну величину буквой, а остальные записывают через неё. Так становится видно, какое равенство описывает всю ситуацию.
Сначала выбери неизвестную величину и обозначь её буквой, например x. Удобнее брать ту величину, через которую легко выразить остальные: если одно число на 6 больше другого, проще обозначить меньшее, а большее записать как x + 6. Тогда выражения получаются короткими и их легче проверить. Если выбрать величину, связанную со всеми остальными сложнее, уравнение может стать громоздким.
Затем переведи условие на язык равенств: найди, как связаны величины. Слова «на 3 больше» означают, что к одной величине нужно прибавить 3, а «в 3 раза больше» — умножить её на 3. Ищи в тексте то, что известно об общей сумме, длине пути или периметре. Эти сведения соединяют выражения с выбранной буквой.
Уравнение составляют так, чтобы его левая и правая части описывали одну и ту же величину двумя способами. Например, число предметов можно посчитать как сумму в двух коробках и одновременно взять из условия общее количество. Поэтому эти записи нужно приравнять. Если части обозначают разные величины, равенство не отражает условие и не поможет найти ответ.
Решив уравнение, найди корень — значение буквы, при котором равенство верно. Но корень ещё нужно соотнести с условием: выяснить, какую величину обозначали буквой и в каких единицах её измеряют. Если x обозначает ширину в сантиметрах, то найденное число сначала сообщает ширину, а длину нужно вычислить отдельно. Это не позволяет принять промежуточное значение за весь ответ.
В конце проверь найденные величины по исходному условию. Подставь их в описанную ситуацию: складываются ли количества в нужную сумму, получается ли нужный периметр или пройденный путь. Проверка выявляет ошибки в вычислениях и в переводе слов в выражения. После неё запиши ответ словами и укажи подходящие единицы измерения.
| Этап | Что сделать | Контрольный вопрос |
|---|---|---|
| Обозначить неизвестное | Выбрать величину и обозначить её буквой | Что именно означает буква? |
| Выразить другие величины через неизвестное | Записать их через выбранную букву | Верно ли отражены связи из условия? |
| Составить уравнение | Приравнять две записи одной величины | Обе части описывают одно и то же? |
| Решить уравнение | Найти значение неизвестного | При каком значении равенство верно? |
| Проверить и записать ответ | Сопоставить результат с условием | Подходит ли ответ и указаны ли единицы? |
Пользуйся таблицей по порядку: переходи к следующему этапу, когда можешь ответить на контрольный вопрос. Если проверка не проходит, вернись к записи связи или к выбору неизвестного. Такой порядок помогает найти место ошибки, а не решать задачу заново наугад.
Задача. В двух коробках 38 карандашей. В одной коробке на 6 карандашей больше, чем в другой. Сколько карандашей в каждой коробке? Удобно обозначить количество в меньшей коробке через x: тогда в большей коробке x + 6. Вместе они содержат 38 карандашей, поэтому сумма двух выражений должна равняться 38.
Ответ: в коробках 16 и 22 карандаша.
Задача. Периметр прямоугольника равен 34 см, его длина на 3 см больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника. Обозначим ширину через x см, тогда длина равна x + 3 см. Периметр складывается из двух ширин и двух длин, поэтому используем равенство 2x + 2(x + 3) = 34.
Ответ: ширина 7 см, длина 10 см.
Задача. Турист прошёл 18 км за 3 часа. Первые 2 часа он шёл с одинаковой скоростью, а последний час — на 1 км/ч быстрее. Найдите его скорость в первые два часа. Пусть эта скорость равна x км/ч, тогда за два часа турист прошёл 2x км. За последний час он прошёл x + 1 км, а весь путь составил 18 км.
Ответ: скорость в первые два часа равна 17/3 км/ч, или 5⅔ км/ч.
Иногда буквой обозначают величину, через которую трудно выразить остальные. Тогда появляются длинные выражения, в которых легко запутаться. Так бывает, если выбирают неизвестное случайно, не проверяя связи в условии. Перед составлением уравнения спроси себя, какая величина позволит записать остальные проще.
Другая ошибка — спутать слова «на несколько больше» и «в несколько раз больше». Первые указывают на сложение, вторые — на умножение; путаница меняет саму ситуацию задачи. Ошибку допускают, если переводят слова в знаки наспех. Проверь выражение на простом примере: если было 5 и на 2 больше, получится 7, а не 10.
Уравнение может оказаться неверным, если его части описывают разные величины. Например, нельзя приравнять длину к числу предметов только потому, что обе величины упомянуты в условии. Такая ошибка возникает, когда равенство составляют по отдельным словам, а не по смыслу целиком. Подпиши, что означает каждая часть, и проверь: речь в обеих частях должна идти об одном и том же.
Найденный корень не всегда автоматически является ответом. Можно забыть, что буква обозначает только одну из величин, или записать длину без сантиметров. Это происходит, когда останавливаются сразу после решения уравнения. Подставь число в условие, вычисли остальные нужные величины и проверь соответствие единиц измерения.
Для решения задач уравнением нужно уметь обозначать неизвестное буквой, составлять числовые выражения и решать простые уравнения. Эти навыки соединяются в один способ рассуждения: от текста условия — к выражениям, затем к равенству и его корню. Чем увереннее ты работаешь с выражениями, тем легче составить математическую модель.
Этот способ пригодится в задачах на движение, работу и проценты. Во всех них нужно выразить связи между величинами и записать равенство, которое описывает условие. Умение строить такие модели помогает не угадывать ответ, а получать его из данных задачи.
Как понять, какую величину обозначить буквой?
Обычно выбирают ту неизвестную, через которую проще выразить остальные величины. Например, если одна величина на несколько единиц больше другой, удобно обозначить меньшую: большую тогда легко записать как сумму.
Как перевести слова задачи в уравнение?
Сначала обозначь неизвестное, затем вырази через него связанные величины. Найди в условии две записи одной и той же величины и приравняй их.
Почему в уравнении нужно приравнивать эти выражения?
Потому что они описывают одну величину, только разными способами. Например, общее количество можно представить и как сумму в двух коробках, и как число, данное в условии.
Обязательно ли проверять корень уравнения по условию задачи?
Да: корень может быть найден верно, но не подходить по смыслу задачи. Подстановка значения в условие помогает обнаружить ошибку в составлении уравнения или вычислениях.
Что делать, если найденное значение не подходит к условию?
Проверь вычисления, выражения для величин и то, что именно обозначает буква. Если всё записано верно, возможно, условие не допускает найденного значения; тогда нужно заново проверить составление модели.
Учимся решать задачи с помощью уравнений
