"Математика", Чекин А.Л.
Действия первой и второй ступеней помогают правильно вычислять значения числовых выражений. К первой ступени относят умножение и деление, ко второй — сложение и вычитание. Если в выражении встречаются разные действия, их выполняют в установленном порядке: сначала скобки, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание. Действия одной ступени выполняют слева направо.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Действия первой ступени — это умножение и деление. Умножение обозначают знаками · или ×, а деление — знаком :. Умножение помогает быстро находить сумму одинаковых слагаемых, а деление показывает распределение поровну или количество равных групп. Знание этих обозначений нужно, чтобы распознавать действия в числовом выражении.
Действия второй ступени — сложение и вычитание. Их обозначают знаками + и −. Сложение объединяет несколько количеств, а вычитание показывает, на сколько одно число больше другого или сколько осталось после уменьшения. Эти действия завершают вычисление выражения после выполнения действий первой ступени.
Порядок действий — это установленная последовательность выполнения действий в числовом выражении. Она нужна, чтобы разные люди получили один и тот же результат, даже если выражение содержит несколько знаков. Сначала учитывают скобки, затем действия первой ступени, а потом действия второй ступени.
Скобки — знаки, которые указывают, какие действия нужно выполнить прежде остальных. Внутри скобок может быть одно действие или целое выражение. Скобки нужны, чтобы явно изменить обычный порядок вычислений и объединить связанные между собой действия.
Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания не случайно. Например, в выражении 3 + 4 · 5 сначала находят значение группы 4 · 5, то есть пять одинаковых четвёрок, а затем прибавляют результат к 3. Такой порядок сначала определяет отдельные группы, а потом объединяет полученные количества.
Действия одной ступени выполняют слева направо. Если записано 48 : 6 · 2, сначала считают 48 : 6 = 8, затем 8 · 2 = 16. Нельзя сначала умножить 6 на 2, потому что деление и умножение не имеют общего отдельного приоритета: их расположение в записи определяет последовательность.
Скобки изменяют обычный порядок действий, потому что выделяют часть выражения как самостоятельную группу. В записи 40 − (6 + 4) сначала находят сумму 6 + 4, а потом вычитают её из 40. Без скобок знак минус относился бы только к числу, стоящему после него, поэтому смысл записи мог бы стать другим.
Числовое выражение удобно читать по шагам. Сначала находят значения всех выражений в скобках, затем выполняют умножение и деление слева направо, а после этого — сложение и вычитание также слева направо. Каждый найденный промежуточный результат можно мысленно или письменно подставлять вместо выполненного действия.
Произвольно менять местами действия нельзя, потому что разные операции обладают разными свойствами. Например, слагаемые можно переставлять при сложении, но в выражении 20 − 6 + 2 нельзя бездумно поменять местами вычитание и сложение. Перед перестановкой нужно проверить свойства операции и сохранить установленный порядок действий.
| Характеристика | Действия первой ступени | Действия второй ступени |
|---|---|---|
| Какие действия относятся | Умножение и деление | Сложение и вычитание |
| Обозначения | ·, ×, : | +, − |
| Порядок выполнения между собой | Слева направо | Слева направо |
| Порядок выполнения в выражении | После действий в скобках, до действий второй ступени | После скобок и действий первой ступени |
| Пример | 36 : 6 · 2 = 12 | 15 − 4 + 3 = 14 |
Таблица помогает быстро определить, к какой ступени относится знак и когда его выполнять. Сначала найдите скобки, затем используйте строку о порядке действий. Если в одной строке встречается несколько действий, считайте их слева направо.
Вычислим выражение 27 + 8 · 3 − 5. В нём нет скобок, но есть действия обеих ступеней. Поэтому сначала выполним умножение, а затем сложение и вычитание слева направо.
Ответ: 46.
Вычислим выражение 84 : 6 + 5 · (12 − 8). Сначала нужно найти значение в скобках, потому что они имеют первый приоритет. Затем выполняем два действия первой ступени, а сложение оставляем напоследок.
Ответ: 34.
Вычислим выражение 120 − 18 + 4 · (15 − 9) : 2. Здесь встречаются скобки, действия первой ступени и действия второй ступени. Нельзя начинать с вычитания 120 − 18, потому что сначала нужно обработать скобки и умножение с делением.
Ответ: 114.
Первая ошибка — сложение или вычитание выполняют раньше умножения и деления. Так происходит, если читать запись только слева направо и не учитывать ступени действий. Проверьте себя: до сложения и вычитания должны быть выполнены все действия первой ступени, если они не находятся в скобках.
Вторая ошибка — умножение или деление начинают выполнять справа налево. Ученик может принять последнее действие за главное, но одинаковые по ступени действия имеют порядок слева направо. Поставьте промежуточные результаты над знаками и убедитесь, что начали с самого левого умножения или деления.
Третья ошибка — скобки не замечают или выполняют позже. Скобки выделяют часть выражения, которую нужно вычислить первой, поэтому пропуск меняет весь результат. Перед решением обведите скобки взглядом и замените каждую найденную часть её значением.
Четвёртая ошибка — действия без скобок переставляют местами. Перестановка слагаемых иногда разрешена свойствами сложения, но произвольная перестановка вычитания, деления и связанных с ними частей опасна. Для проверки сравните исходную запись с новой и спросите себя, есть ли у такой замены математическое свойство или скобки.
До изучения порядка действий нужно уверенно знать таблицу умножения, правила деления, сложения и вычитания. Также необходимо узнавать знаки арифметических действий. Эти знания позволяют сосредоточиться именно на последовательности вычислений.
Правило нужно при нахождении значений числовых выражений и решении текстовых задач. По записи выражения можно понять, какие величины сначала объединяются, умножаются или делятся. Поэтому порядок действий помогает перевести условие задачи в правильное вычисление.
В дальнейшем те же правила пригодятся при работе с дробями, буквенными выражениями и уравнениями. Меняться могут числа и обозначения, но скобки и порядок выполнения операций сохраняют свою роль. Ошибка в последовательности часто приводит к неверному решению всей задачи.
Почему умножение выполняют раньше сложения?
Умножение часто показывает несколько одинаковых групп, а сложение объединяет уже найденные количества. Поэтому сначала вычисляют отдельную группу умножением, а затем прибавляют её к другим результатам.
Что делать первым, если в выражении есть скобки?
Сначала вычисляют выражение внутри скобок. Полученное значение затем используют при выполнении остальных действий.
Как выполнять несколько умножений и делений подряд?
Умножение и деление имеют одинаковую ступень, поэтому их выполняют слева направо. Например: 48 : 6 · 2 = 8 · 2 = 16.
Можно ли переставлять действия в числовом выражении?
Произвольно переставлять действия нельзя: это может изменить значение выражения. Перестановка допустима только тогда, когда её разрешают свойства операций, например переместительное свойство сложения.
Что делать, если в выражении одновременно есть скобки, умножение и вычитание?
Сначала вычислите выражение в скобках. Затем выполните умножение и деление слева направо, а после этого вычитание и другие действия второй ступени также слева направо.
Действия первой и второй ступеней
