"Математика", Чекин А.Л.
Арифметические выражения помогают записывать и вычислять значения числовых примеров. Чтобы получить правильный результат, нужно соблюдать порядок действий и учитывать скобки. Переместительное, сочетательное и распределительное свойства позволяют менять группировку чисел и считать быстрее. В параграфе тренируемся выбирать удобный способ вычислений, оценивать ответ заранее и проверять себя после решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическое выражение — это запись, состоящая из чисел, знаков действий и, возможно, скобок. Например, 18 + 6 · 2 и 48 − (12 + 6) : 3 — арифметические выражения. Чтобы найти значение выражения, нужно выполнить все указанные действия в правильной последовательности.
Порядок действий — правила, которые определяют, какое действие выполнять первым, вторым и так далее. Они нужны, чтобы разные люди, читая одну запись, получили один и тот же результат. Скобки задают особую последовательность, а при их отсутствии учитывают ступени действий.
Свойства арифметических действий — правила, позволяющие преобразовывать выражения без изменения их значения. Переместительное и сочетательное свойства относятся к сложению и умножению, а распределительное связывает умножение со сложением и вычитанием. Благодаря им длинный пример можно заменить более удобным.
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание. Такой порядок нужен, чтобы знак действия связывал именно те числа, для которых он предназначен: в выражении 4 + 3 · 2 сначала находят произведение 3 · 2, а потом прибавляют 4. Действия одного приоритета выполняют слева направо, потому что каждое следующее использует уже найденный результат.
Скобки меняют обычный порядок действий и показывают, какую часть выражения нужно рассмотреть первой. Если скобки вложены, начинают с самых внутренних: их результат подставляют во внешнее выражение. Поэтому запись 30 : (2 + 3) означает сначала сложить 2 и 3, а затем разделить 30 на полученное число.
Переместительное свойство позволяет менять местами слагаемые и множители: a + b = b + a, a · b = b · a. Сочетательное свойство разрешает по-разному объединять слагаемые или множители: (a + b) + c = a + (b + c), а (a · b) · c = a · (b · c). Эти правила помогают поставить рядом удобные числа, например сначала сложить 27 и 13 или перемножить 25 и 4.
Распределительное свойство показывает, как умножать сумму или разность на число: a · (b + c) = a · b + a · c и a · (b − c) = a · b − a · c. Оно позволяет раскрыть скобки, умножив число на каждый член внутри них. Верно и обратное преобразование: общий множитель можно вынести за скобки, если он есть во всех слагаемых.
Перед вычислением полезно примерно оценить результат и поискать короткий путь. Числа можно сгруппировать, сложное действие заменить равносильным или считать выражение по частям. После решения оценка помогает заметить грубую ошибку: например, результат умножения 40 · 30 не может быть около 100.
| Ситуация | Что делать | Пример приёма |
|---|---|---|
| Есть скобки | Сначала вычислить внутреннюю часть в скобках | 48 − (12 + 6) : 3 |
| Действия умножения и деления | Выполнить их раньше сложения и вычитания, слева направо | 20 + 18 : 3 |
| Действия сложения и вычитания | Выполнить их после действий первой ступени, слева направо | 35 − 8 + 4 |
| Можно переставить или сгруппировать числа | Использовать свойства сложения или умножения | 27 + 13 + 5 = 40 + 5 |
| Можно умножить число на сумму или разность | Раскрыть скобки или вынести общий множитель | 16 · 27 + 16 · 73 = 16 · (27 + 73) |
Сначала определите, какие действия есть в выражении и есть ли скобки. Затем двигайтесь по таблице сверху вниз, отмечая уже выполненные действия. Если свойства дают более короткий путь, используйте их до начала подробных вычислений.
Вычислим 48 − (12 + 6) : 3. Внутри скобок стоит сложение, после него появится деление, а последним действием будет вычитание. Записываем промежуточные результаты, чтобы не потерять порядок.
Ответ: 42. Проверка порядка показывает, что скобки обработаны первыми, а деление выполнено раньше вычитания.
Найдём значение выражения 25 · 37 · 4. Если умножать слева направо, сначала получится 925, и дальнейшее вычисление будет менее удобным. Переместительное и сочетательное свойства позволяют поставить 25 и 4 рядом.
Ответ: 3700. Прикидка подтверждает результат: 25 · 4 даёт 100, поэтому произведение должно быть в несколько тысяч.
Вычислим 16 · 27 + 16 · 73, не находя два больших произведения отдельно. В обоих слагаемых есть общий множитель 16, поэтому удобно применить распределительное свойство в обратную сторону. После вынесения останется простое сложение.
Ответ: 1600. Такой способ уменьшает число вычислений и снижает риск ошибки в отдельных произведениях.
Первая ошибка — считать строго слева направо и выполнить сложение раньше умножения. Так происходит, если ученик не выделяет действия разных ступеней. Проверьте себя: подчеркните умножение и деление и убедитесь, что они выполнены до сложения и вычитания.
Вторая ошибка — начать не с внутренних скобок или вовсе забыть о них. Скобки задают отдельный порядок, поэтому их содержимое нельзя переносить на потом. Полезно переписать выражение после каждого найденного промежуточного значения.
Третья ошибка — применять перестановку к вычитанию или делению. Например, 9 − 4 не равно 4 − 9, а 12 : 3 не равно 3 : 12. Проверяйте, относятся ли используемые свойства именно к сложению или умножению.
Четвёртая ошибка — раскрыть скобки только частично или потерять знак перед вторым слагаемым. При умножении на сумму число умножают на каждый член, а при разности сохраняют знак минус. Для проверки раскройте скобки на черновике по одному слагаемому и сравните знаки.
До этой темы нужно знать таблицу умножения, правила письменных вычислений и обозначения арифметических действий. Без этих навыков трудно сосредоточиться на порядке действий, потому что сами промежуточные вычисления будут замедлять решение. Полезно также уметь складывать, вычитать, умножать и делить многозначные числа.
Порядок действий и преобразование выражений понадобятся при работе с обыкновенными и десятичными дробями, а также с буквенными выражениями. Те же свойства помогают упрощать формулы и раскрывать скобки, только вместо одних чисел могут использоваться буквы.
Почему умножение выполняют раньше сложения?
Так принято в правилах записи выражений, чтобы одна и та же запись имела однозначное значение. Умножение часто обозначает объединение одинаковых групп, поэтому сначала находят такие группы, а затем складывают получившиеся результаты.
В каком порядке выполнять действия, если в выражении есть несколько скобок?
Сначала выполняют действия во внутренних скобках, затем переходят к скобкам, которые их окружают. После полного вычисления скобок выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Можно ли менять местами числа при вычитании?
Нет, вычитание не обладает переместительным свойством: 8 − 3 не равно 3 − 8. Менять местами можно слагаемые или множители, но не уменьшаемое с вычитаемым.
Как понять, что числа выгодно сгруппировать иначе?
Ищите пары и группы, которые дают круглые числа: 10, 100, 1000 или удобные произведения. Например, в выражении 25 · 37 · 4 выгодно сначала перемножить 25 и 4.
Как проверить, не ошибся ли я при вычислении?
Сначала оцените, каким примерно должен быть результат, и сравните его с ответом. Затем можно пересчитать выражение другим способом или выполнить обратное действие.
Поупражняемся в вычислениях
