Сравнение смешанных чисел

Определения и обозначения

Смешанное число — это число, состоящее из целой части и дробной части. Например, 2 3/7 и 5 1/4 — смешанные числа: в записи сначала стоит целое число, затем дробь. Между частями обычно не ставят знак сложения, но запись 2 3/7 означает 2 + 3/7.

Целая часть — число, записанное перед дробью. В числе 2 3/7 целая часть равна 2, значит, число содержит две целые единицы и ещё часть следующей. Целые части помогают сразу сравнить смешанные числа, если их значения различаются.

Дробная часть — дробь, записанная после целой части. В числе 2 3/7 это 3/7, то есть три из семи равных частей следующего целого. Она показывает, насколько число увеличивается после своей целой части.

Сравнить два числа — значит определить, какое из них больше, какое меньше или равны ли они. Для записи используют знаки >, < и =: например, 5 > 3, 2 < 4, 6 = 6. Сравнение смешанных чисел помогает расположить их по порядку и выбрать большее или меньшее значение.

Как это устроено

Сначала сравнивают целые части смешанных чисел. Если целые части разные, больше то число, у которого целая часть больше: каждая следующая целая единица больше любой дробной части предыдущей. Например, число с целой частью 4 уже больше любого числа с целой частью 3, даже если у второго дробь близка к единице.

Если целые части одинаковы, переходят к дробным частям. В обоих числах уже есть одно и то же количество целых, поэтому различие может быть только в том, какая часть следующего целого добавлена. Например, между 2 1/5 и 2 4/5 целые части равны, а дробная часть 4/5 больше 1/5.

Если знаменатели дробей одинаковы, сравнивают числители. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. При одинаковом размере частей больше та дробь, в которой этих частей больше: поэтому 3/8 < 5/8.

Если знаменатели разные, напрямую сравнивать числители нельзя: части имеют разный размер. Один удобный способ — привести дроби к общему знаменателю, то есть заменить их равными дробями с одинаковыми знаменателями. Затем сравнить числители; можно использовать и другой подходящий способ, если он позволяет верно установить, какая дробь больше.

Если целые части и дробные части двух смешанных чисел равны, равны и сами числа. Сначала проверяют целые части, а после этого — дробные, поэтому этот вывод следует из обоих шагов сравнения. Если хотя бы одна из частей различается, нужно определить, какая часть задаёт большее значение, следуя порядку сравнения.

Как сравнивать смешанные числа

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала найди строку, которая подходит к целым частям чисел. Если целые части равны, выбери строку по знаменателям дробей. После сравнения поставь подходящий знак: >, < или =.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить 2 3/7 и 2 5/7. Целые части равны, значит, пока нельзя определить большее число по ним. Знаменатели дробей одинаковы, поэтому дроби можно сравнить по числителям.

1. Сравним целые части: 2 = 2. Значит, в обоих числах по две целые единицы. Для сравнения остаются дроби 3/7 и 5/7.
2. Знаменатели равны, поэтому сравним числители: 3 < 5. Это значит, что 3/7 < 5/7, так как части одного размера, но в первой дроби их взято меньше.
3. К одинаковым целым частям прибавлены разные дробные части. Поскольку 3/7 меньше 5/7, первое смешанное число меньше второго.

Ответ: 2 3/7 < 2 5/7.

Задача 2. Сравнить 4 1/3 и 3 5/6. В этих числах различаются целые части: 4 и 3. Проверим их первыми, потому что при разных целых частях дробные части не меняют результат сравнения.

1. Сравним целые части: 4 > 3. Первое число содержит четыре целых единицы, а второе — только три. Уже поэтому первое число больше.
2. Дробные части 1/3 и 5/6 сравнивать не требуется. Они показывают добавочную часть после целых, но не могут сделать число с тремя целыми больше числа с четырьмя целыми.
3. Запишем результат сравнения смешанных чисел. Знак больше направляем к меньшему числу, поэтому слева ставим знак >.

Ответ: 4 1/3 > 3 5/6.

Задача 3. Сравнить 5 2/3 и 5 3/4. Целые части одинаковы, поэтому надо сравнить дроби 2/3 и 3/4. Их знаменатели различаются, значит, одного сравнения числителей недостаточно.

1. Найдём общий знаменатель для 3 и 4: подойдёт число 12. Заменим дроби равными дробями со знаменателем 12: 2/3 = 8/12, а 3/4 = 9/12. Значения дробей при таком преобразовании не меняются.
2. Сравним полученные дроби: 8/12 < 9/12, потому что знаменатели одинаковы, а 8 меньше 9. Значит, 2/3 < 3/4. Так мы узнали, какая дробная часть больше.
3. К дробным частям прибавлены одинаковые целые части, равные 5. Поэтому порядок чисел сохраняется: смешанное число с дробной частью 2/3 меньше числа с дробной частью 3/4.

Ответ: 5 2/3 < 5 3/4.

Типичные ошибки

Ошибка — сравнивать только дробные части, когда целые части различаются. Так делают, если сразу замечают дроби и забывают о числе целых единиц. Перед сравнением дробей проверь целые части: например, 4 1/3 больше 3 5/6 из-за 4 > 3.

Ошибка — считать, что дробь с большим знаменателем всегда больше. Знаменатель показывает размер одной доли: чем больше равных частей в целом, тем мельче каждая часть. Не делай вывод только по знаменателю; приведи дроби к общему знаменателю или сравни их другим верным способом.

Ошибка — сравнивать числители дробей с разными знаменателями без преобразования. Числители показывают количество частей, но сами части могут быть разного размера. Проверь знаменатели: сравнивать числители напрямую можно, когда знаменатели одинаковы.

Ошибка — забывать о дробных частях при равных целых частях. Тогда можно решить, что числа равны, хотя добавочные доли разные. Если целые части одинаковы, обязательно сравни дроби: больше то смешанное число, у которого больше дробная часть.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать смешанные числа, нужно уметь сравнивать натуральные числа и обыкновенные дроби. Сравнение целых частей опирается на правила для натуральных чисел, а сравнение дробных — на правила для дробей. Если дроби имеют разные знаменатели, пригодится умение приводить их к общему знаменателю.

Сравнение смешанных чисел помогает упорядочивать дробные числа — располагать их от меньшего к большему или наоборот. Оно также нужно в задачах на величины, когда приходится выбирать, какое значение больше, например длину или массу. Сначала сравни целые части значений, а при их равенстве — дробные.

Что запомнить

• Сравнение смешанных чисел начинают с целых частей.
• При разных целых частях больше число с большей целой частью.
• При равных целых частях сравнивают дробные части.
• Дроби с одинаковыми знаменателями сравнивают по числителям.
• Дроби с разными знаменателями перед сравнением приводят к общему знаменателю или используют другой подходящий способ.
• Если обе части смешанных чисел равны, то равны и сами числа.