Сравнение смешанных чисел

Определения и обозначения

Смешанное число — число, состоящее из целой и дробной частей. Например, в записи 3 1⁄5 число 3 — целая часть, а 1⁄5 — дробная. Такая запись показывает несколько целых единиц и ещё часть следующей единицы.

Целая часть смешанного числа — натуральное число, записанное слева от дробной части. Она показывает, сколько целых единиц содержится в числе. При сравнении именно с неё начинают: число с большей целой частью обычно сразу оказывается больше.

Дробная часть смешанного числа — правильная дробь справа от целой части. Правильная дробь меньше единицы, например 1⁄5 или 4⁄7. Она уточняет размер числа внутри промежутка между двумя соседними целыми числами.

Как это устроено

Если целые части смешанных чисел различны, сравнивают только их. Например, 3 4⁄9 и 5 1⁄9 находятся в разных промежутках: первое число между 3 и 4, а второе — между 5 и 6. Поэтому 3 4⁄9 < 5 1⁄9, даже если дробь у первого числа больше.

Когда целые части равны, они дают одинаковое количество целых единиц и уже не различают числа. Разница остаётся только в дробных частях. Поэтому в записи 6 2⁄7 и 6 5⁄7 нужно сравнить 2⁄7 и 5⁄7.

Если знаменатели дробей одинаковые, доли имеют один и тот же размер. Например, и 2⁄9, и 7⁄9 состоят из девятых долей, поэтому семь таких долей больше двух. Значит, при одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем.

Разные знаменатели означают, что сравниваются доли разного размера. Например, треть и пятая часть не имеют одинаковых долей, поэтому одни числители напрямую сопоставлять нельзя. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, получают одинаковые доли, а затем сравнивают числители.

Знак сравнения записывают после последовательной проверки частей чисел. Его раскрытая сторона обращена к большему числу, а остриё — к меньшему: 8 > 5 и 5 < 8. Если обе части двух смешанных чисел совпали, ставят знак равенства.

Как сравнивать смешанные числа

Найдите в таблице ситуацию, которая подходит к вашим числам, и выполните указанные действия. Всегда начинайте с целых частей, а к дробным переходите только при их равенстве. После сравнения проверьте направление знака.

Таблица помогает выбрать короткий способ решения. Если целые части различны, не тратьте время на дроби. Если целые части равны, определите знаменатели и выберите сравнение по числителям или через общий знаменатель.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить 3 1⁄5 и 4 1⁄5

У чисел одинаковые дробные части, но сначала проверяем целые. Целые части равны соответственно 3 и 4. Уже этого достаточно для ответа.

1. Сравниваем целые части: 3 < 4.
2. Делаем вывод: смешанное число с целой частью 3 меньше числа с целой частью 4.
3. Дробные части 1⁄5 и 1⁄5 дополнительно сравнивать не требуется.

Ответ: 3 1⁄5 < 4 1⁄5.

Задача 2. Сравнить 2 3⁄7 и 2 5⁄7

Целые части у чисел одинаковые: в обоих случаях это 2. Поэтому различие определяется дробными частями. Их знаменатели также одинаковы — 7, значит, можно сравнить числители.

1. Сравниваем целые части: 2 = 2.
2. Сравниваем дробные части: 3⁄7 < 5⁄7, потому что 3 < 5.
3. Ставим такой же знак между смешанными числами.

Ответ: 2 3⁄7 < 2 5⁄7.

Задача 3. Сравнить 4 2⁄3 и 4 3⁄5

Целые части равны: 4 = 4, поэтому сравним 2⁄3 и 3⁄5. Знаменатели 3 и 5 различны, так что сравнивать числители 2 и 3 напрямую нельзя. Приведём дроби к общему знаменателю 15.

1. Для 2⁄3 умножаем числитель и знаменатель на 5: 2⁄3 = 10⁄15.
2. Для 3⁄5 умножаем числитель и знаменатель на 3: 3⁄5 = 9⁄15.
3. Сравниваем полученные дроби: 10⁄15 > 9⁄15.
4. Так как целые части равны, переносим этот знак к смешанным числам.

Ответ: 4 2⁄3 > 4 3⁄5.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Ученик сразу сравнивает дробные части, не проверив целые. Так делают, потому что дробь кажется более заметной частью записи. Сначала обведите целые части и сравните их.

Ошибка 2. При равных числителях считают большей дробь с большим знаменателем. На самом деле одинаковое количество меньших долей даёт меньшую дробь: 2⁄7 < 2⁄5. Проверьте размер одной доли или приведите дроби к общему знаменателю.

Ошибка 3. При разных знаменателях сравнивают только числители. Это неверно, потому что доли имеют разный размер. Приведите дроби к общему знаменателю и лишь затем сопоставляйте числители.

Ошибка 4. Знак ставят остриём к большему числу. Запомните образ раскрытого знака: его широкая сторона смотрит на большее число. После записи прочитайте неравенство словами и проверьте, совпадает ли смысл.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь выделять целую и дробную части смешанного числа, сравнивать натуральные числа и выполнять сравнение обыкновенных дробей. Эти навыки образуют последовательность действий: сначала целые части, затем при необходимости дробные. Без понимания знаменателя и числителя легко выбрать неправильный способ.

Сравнение смешанных чисел нужно, когда числа требуется расположить по порядку или выбрать больший и меньший результат задачи. Оно помогает сравнивать длины, массы, время и другие величины, записанные смешанными числами. В дальнейшем этот навык используется при вычислениях и решении текстовых задач.

Что запомнить

• Сначала сравнивают целые части смешанных чисел.
• Если целые части различны, дробные части не влияют на результат.
• Если целые части равны, сравнивают дробные части.
• Дроби с одинаковыми знаменателями сравнивают по числителям.
• Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю.
• У знака «больше» раскрытая сторона обращена к большему числу.