Основное свойство дроби

Определения и обозначения

Основное свойство дроби — это правило: дробь не изменяется, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Например, 2/3 = 4/6. Это правило позволяет записывать одну дробь разными способами.

Равные дроби — дроби, которые обозначают одну и ту же часть целого, хотя числители и знаменатели у них различаются. Например, 1/2 и 3/6 равны: обе дроби показывают половину. Понятие равных дробей нужно, чтобы заменять неудобную запись более подходящей.

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Например, в дроби 12/18 можно разделить оба числа на 6 и получить 2/3. Сокращение делает запись проще, но не меняет значение дроби.

Несократимая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме единицы. Дробь 2/3 несократима, потому что 2 и 3 нельзя разделить на одно и то же число, большее 1. Такой вид обычно считают самым простым.

Как это устроено

Представим дробь 1/2 как половину яблока. Если каждую из двух половин разделить ещё на 3 равные части, всего получится 6 маленьких частей, а взятая половина будет состоять из 3 таких частей. Поэтому 1/2 = 3/6: целое разделили мельче, но выбранная часть осталась той же.

В числах это означает, что при умножении дроби a/b на число n одновременно меняются и числитель, и знаменатель: a/b = (a × n)/(b × n). Множитель должен быть ненулевым, потому что умножение на ноль превратит числитель и знаменатель в нули, а знаменатель 0 недопустим. Одинаковое действие с двумя частями дроби сохраняет отношение между ними.

Обратное действие — деление числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель d: a/b = (a : d)/(b : d). Число d должно делить оба числа без остатка, иначе один из новых элементов дроби не будет целым. Например, 18/24 можно разделить на 6 и получить 3/4.

Разные записи равных дробей появляются потому, что одну и ту же часть целого можно разделить на разное количество равных частей. В дроби 1/3 взята одна из трёх частей, а в дроби 2/6 — две из шести частей. Эти части меньше, но их взято в два раза больше, поэтому общий размер выбранной части не изменился.

Чтобы понять, можно ли сократить дробь, ищут число, которое делит и числитель, и знаменатель. Если такой общий делитель больше 1 найден, дробь сокращают и при необходимости повторяют проверку. Когда общих делителей, кроме 1, больше нет, получена несократимая дробь.

Основное свойство дроби и действия с дробями

Сначала определите, что требуется сделать: получить другой знаменатель или упростить дробь. Затем выполните одинаковое действие с числителем и знаменателем. После этого проверьте, что деление было точным и значение дроби не изменилось.

Разбор задач

Задача 1. Заполнить пропуск: 3/5 = ?/20. Нужно получить знаменатель 20 из 5. Сначала найдём множитель, а затем применим его к числителю.

1. 20 : 5 = 4, значит, знаменатель увеличили в 4 раза.
2. По основному свойству умножаем числитель на тот же множитель: 3 × 4 = 12.
3. Записываем равенство: 3/5 = 12/20.

Ответ: пропущенное число — 12.

Задача 2. Сократить дробь 18/24. Числитель и знаменатель имеют общие делители 2, 3 и 6. Выберем 6, чтобы сразу получить наиболее простой результат.

1. Разделим числитель и знаменатель на 6: 18 : 6 = 3, 24 : 6 = 4.
2. Получим дробь 3/4.
3. Числа 3 и 4 не имеют общего делителя, кроме 1, поэтому результат несократимый.

Ответ: 18/24 = 3/4.

Задача 3. Представить 5/6 в виде дроби со знаменателем 30. Сравним новый и прежний знаменатели. Так мы узнаем, во сколько раз нужно увеличить оба элемента дроби.

1. 30 : 6 = 5, значит, умножаем числитель и знаменатель на 5.
2. 5 × 5 = 25, а 6 × 5 = 30.
3. Получаем 5/6 = 25/30. Проверка: 25 : 5 = 5 и 30 : 5 = 6, значит, обратным делением возвращаемся к исходной дроби.

Ответ: 5/6 = 25/30.

Типичные ошибки

Умножают только числитель или только знаменатель. Так забывают, что дробь состоит из двух связанных чисел. Проверьте, записано ли одинаковое действие и сверху, и снизу дробной черты.

Используют разные множители. Например, числитель умножают на 2, а знаменатель на 3. Такое изменение нарушает отношение чисел, поэтому нужно убедиться, что множитель один и тот же.

Делят на число, которое не является общим делителем. Если деление одного из чисел выполняется с остатком, сокращать на выбранное число нельзя. Перед действием проверьте делимость числителя и знаменателя.

Считают дробь несократимой слишком рано. Иногда ученик проверяет только делимость на 2, но общий делитель может быть, например, 3 или 5. Проверьте подходящие признаки делимости и убедитесь, что общего делителя больше 1 действительно нет.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно понимать смысл числителя и знаменателя, уметь делить натуральные числа, знать признаки делимости и общий делитель. Эти знания помогают правильно выбирать множитель или делитель.

Основное свойство дроби пригодится при сравнении, сложении и вычитании дробей. Чтобы выполнить такие действия, часто приводят дроби к общему знаменателю.

Сокращение используется при проверке ответов, преобразовании смешанных чисел и упрощении результатов задач. Благодаря этому вычисления становятся короче и понятнее.

Что запомнить

• При умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число дробь не изменяется.
• При делении числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель дробь не изменяется.
• Сокращать можно только числитель и знаменатель одновременно.
• Для сокращения нужно найти общий делитель числителя и знаменателя.
• Несократимая дробь не имеет общего делителя, кроме единицы.
• Равные дроби могут иметь разные числители и знаменатели.