"Математика. Учебник для специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида*", Капустина Г.М., Перова М.Н.
Преобразование обыкновенных дробей помогает записывать одно и то же число по-разному. Дробь можно расширить, сократить или привести к общему знаменателю, не изменяя её значения. Эти действия нужны, чтобы сравнивать, складывать и вычитать дроби. Главное правило: числитель и знаменатель изменяют одинаково.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные дроби — это дроби с разными числителями и знаменателями, которые обозначают одно и то же количество. Например, 1/2 и 2/4 равны: каждая показывает половину целого. Понятие равных дробей нужно, чтобы заменять неудобную запись удобной.
Расширение дроби — умножение числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число. Например, 3/7 можно расширить на 2 и получить 6/14. Такое действие помогает получить нужный знаменатель.
Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, которое является их общим делителем. Так из 8/12 после деления на 4 получается 2/3. Сокращение уменьшает числа и делает запись дроби проще.
Несократимая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой нельзя разделить на одно и то же натуральное число, кроме 1. Например, 2/3 несократима, потому что у чисел 2 и 3 нет общего делителя, кроме 1. Такая запись показывает дробь в самом простом виде.
Дробь можно представить как деление числителя на знаменатель. При умножении делимого и делителя на одно и то же число частное не меняется: (a · n)/(b · n) = a/b. Поэтому при расширении дроби обязательно используют один и тот же множитель для обоих её чисел.
При расширении знаменатель увеличивается во столько раз, во сколько умножают дробь. Чтобы получить равную дробь с нужным знаменателем, сначала находят отношение нового знаменателя к старому. Затем на это же число умножают числитель, иначе значение дроби изменится.
При сокращении находят общий делитель числителя и знаменателя и делят на него оба числа. Если после первого деления у полученной дроби остаётся общий делитель, действие повторяют. Сокращение заканчивают тогда, когда дальнейшее деление обоих чисел на число, кроме 1, невозможно.
Одинаковые знаменатели делают действия с дробями понятнее. Поэтому дроби с разными знаменателями сначала превращают в равные дроби с общим знаменателем, а затем сравнивают или складывают их числители. Проверить преобразование можно по смыслу: части целого должны остаться теми же, либо по записи — числитель и знаменатель должны быть умножены или разделены одинаково.
| Преобразование | Что делают с числителем | Что делают со знаменателем | Для чего применяют |
|---|---|---|---|
| Расширение дроби | Умножают на натуральное число | Умножают на то же число | Получить равную дробь с нужным знаменателем |
| Сокращение дроби | Делят на общий делитель | Делят на тот же делитель | Уменьшить числа в записи дроби |
| Приведение к общему знаменателю | Расширяют на подходящий множитель | Расширяют на тот же множитель | Сравнивать, складывать и вычитать дроби |
| Получение несократимой дроби | Делят на общие делители | Делят на те же делители | Записать дробь в простейшем виде |
Сначала определи, какое преобразование требуется: увеличить знаменатель, уменьшить числа или сделать знаменатели одинаковыми. В каждой строке таблицы числитель и знаменатель изменяются одним и тем же множителем или делителем. После действия проверь, что значение дроби сохранилось.
Нужно увеличить знаменатель 5 до 20. Сначала узнаем, во сколько раз он увеличивается, а затем используем тот же множитель для числителя.
Ответ: 2/5 = 8/20.
Числитель и знаменатель имеют общие делители, поэтому дробь можно упростить. Выберем общий делитель 6, чтобы получить маленькие числа сразу.
Ответ: 12/18 = 2/3, дробь 2/3 несократимая.
Знаменатели 3 и 4 различны, поэтому найдём число, которое делится и на 3, и на 4. Подойдёт 12, после чего каждую дробь расширим отдельно.
Ответ: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12; общий знаменатель — 12.
Умножают или делят только одно число. Например, из 2/5 получают 2/10, изменяя только знаменатель. Так дробь становится другой, поэтому нужно проверять оба действия.
Используют разные множители. Если числитель умножили на 2, а знаменатель на 3, равенство дробей нарушается. Сверяй множитель над числителем и знаменателем.
Сокращают не на общий делитель. Делитель должен делить оба числа без остатка. Перед сокращением выполни деление и проверь, что результаты являются целыми числами.
Останавливаются слишком рано. После одного сокращения у новых чисел может остаться общий делитель. Проверь делители полученного числителя и знаменателя и продолжай, пока останется только общий делитель 1.
До изучения преобразования дробей нужно уметь находить делители и общие делители натуральных чисел, а также различать числитель и знаменатель. Эти знания помогают выбирать множитель для расширения и делитель для сокращения.
Преобразование дробей используется при сравнении, сложении и вычитании дробей с разными знаменателями. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем выполняют нужное действие.
Почему при расширении дроби её значение не меняется?
Дробь можно понимать как деление числителя на знаменатель. Если оба числа умножить на одно и то же число, частное не изменится: например, 2/5 = (2 · 4)/(5 · 4) = 8/20.
Можно ли сократить дробь на любое число?
Нет, число должно быть общим делителем числителя и знаменателя. Например, дробь 12/18 можно сократить на 2, 3 или 6, но нельзя сократить её на 5.
Как понять, что дробь уже несократимая?
Нужно проверить, есть ли у числителя и знаменателя общий делитель, кроме 1. Если такого делителя нет, дробь несократимая.
Как выбрать число, на которое нужно расширить дробь?
Сначала определяют, во сколько раз нужно увеличить знаменатель. На это же число умножают числитель. Например, чтобы из знаменателя 5 получить 20, расширяют дробь в 4 раза.
Зачем приводить дроби к общему знаменателю?
Дроби с одинаковыми знаменателями легче сравнивать, складывать и вычитать. Поэтому каждую дробь расширяют так, чтобы знаменатели стали равными.
Преобразование обыкновенных дробей
