Нахождение части от числа

Определения и обозначения

Часть числа — результат деления целого числа на равные доли или взятия нескольких таких долей. Например, если 12 конфет разделить поровну на 3 группы, одна группа будет частью числа 12. Это понятие нужно, чтобы находить, сколько предметов или единиц приходится на выбранную долю.

Обыкновенная дробь — запись части целого с помощью числителя и знаменателя: 3/5. Черта дроби означает деление, поэтому дробь помогает точно указать, сколько равных долей взято. Такие записи используют в задачах о предметах, длине, массе и других величинах.

Знаменатель — число под чертой дроби. Он показывает, на сколько равных частей разделили целое: в дроби 3/5 знаменатель 5. По нему выбирают первое действие — деление исходного числа на 5.

Числитель — число над чертой дроби. Он показывает, сколько равных частей взяли: в дроби 3/5 берут 3 части. Поэтому после нахождения одной доли результат умножают на числитель.

Как это устроено

Чтобы найти одну часть числа, его делят на знаменатель. Причина в том, что знаменатель сообщает количество одинаковых долей, а деление распределяет всё число поровну между ними. Например, при нахождении 1/4 от 20 число 20 делят на 4 и получают размер одной четверти — 5.

Если требуется несколько частей, одной доли недостаточно. Сначала делением находят, сколько приходится на одну долю, а затем умножают этот результат на числитель, потому что нужно взять именно столько одинаковых долей. Так, для 3/5 от 20 сначала получают 20 : 5 = 4, а затем 4 × 3 = 12.

Из этих действий получается общее правило: чтобы найти дробь c/b от числа a, нужно число разделить на знаменатель и результат умножить на числитель: a : b × c. Сначала работает знаменатель — он задаёт размер одной доли, затем числитель — он задаёт количество долей. Если числитель равен единице, умножение на 1 можно не записывать.

Решение удобно записывать по действиям. В первом действии находят одну долю, во втором — нужное количество долей, после чего записывают ответ с единицей измерения. Иногда выражение записывают сразу: 28 : 7 × 3, но порядок всё равно читают слева направо, так как деление и умножение выполняются по порядку.

Правильная дробь меньше единицы: её числитель меньше знаменателя. Поэтому часть от положительного целого при такой дроби должна быть меньше исходного числа, а не больше него. Если получилось наоборот, проверьте, не умножили ли на знаменатель вместо деления и учли ли числитель.

Нахождение части от числа

Таблица показывает, какое действие соответствует каждому элементу дроби. Сначала найдите знаменатель и определите число равных долей, затем посмотрите на числитель. После вычисления сравните результат с исходным числом и условием задачи.

Разбор задач

Задача 1. Найти 1/3 от 12

Нужно найти одну треть числа 12. Числитель равен 1, значит, требуется определить только одну равную долю. Для этого используем знаменатель 3.

1. Разделим 12 на 3: 12 : 3 = 4.
2. Так как взята одна доля, дополнительного умножения не требуется.

Ответ: 4.

Задача 2. Найти 3/5 от 20

В дроби 3/5 знаменатель 5 показывает, что число разделили на пять равных частей. Числитель 3 говорит, что из этих частей нужно взять три. Поэтому решение будет состоять из двух действий.

1. Найдём одну пятую: 20 : 5 = 4.
2. Найдём три такие доли: 4 × 3 = 12.

Ответ: 12. Проверка показывает, что 12 меньше 20, поэтому результат подходит для правильной дроби.

Задача 3. В классе 28 учеников, 3/7 из них посещают кружок. Сколько учеников посещают кружок?

Известно целое число — 28 учеников, а найти нужно 3/7 этого количества. Сначала разделим всех учеников на 7 равных долей, затем возьмём 3 доли. Единица ответа должна быть «ученик».

1. Найдём одну седьмую: 28 : 7 = 4 ученика.
2. Найдём три доли: 4 × 3 = 12 учеников.

Ответ: 12 учеников посещают кружок. Число 12 меньше общего количества 28, значит, проверка по смыслу выполнена.

Типичные ошибки

Ученик умножает число на знаменатель вместо деления. Так происходит, если он путает количество равных долей с количеством взятых долей. Проверьте себя вопросом: «На сколько частей разделили целое?» — ответ на него показывает, что сначала нужно делить.

Иногда берут только числитель и не учитывают знаменатель. Например, вместо 3/5 от 20 считают 20 × 3, хотя сначала надо узнать размер одной пятой. Запишите дробь рядом с решением и отдельно назовите роль каждого числа.

Другая ошибка — выполнить при нахождении нескольких долей только одно действие или изменить их порядок без понимания. Если найдено 3/5, сначала вычисляют 20 : 5, затем умножают результат на 3. Полезно проговорить решение словами: «одна доля, потом три доли».

Ответ не проверяют и получают число больше исходного при правильной дроби. Такое возможно при случайном умножении на знаменатель или неверном выборе действия. Сравните результат с целым числом и проверьте, соответствует ли он единицам и условию задачи.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь читать обыкновенную дробь, различать числитель и знаменатель, делить и умножать числа. Эти знания превращаются в понятный способ решения задач о долях.

Приём встречается в задачах на распределение предметов, длину, массу, время и другие величины. Он помогает понять, какую часть общего количества составляет выбранная группа.

Позже тот же смысл понадобится при изучении процентов, отношений, дробных выражений и текстовых задач. Процент можно рассматривать как особый способ записи части целого.

Что запомнить

• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое.
• Числитель показывает, сколько частей взяли.
• Чтобы найти одну долю числа, нужно число разделить на знаменатель.
• Чтобы найти дробь от числа, нужно число разделить на знаменатель и умножить на числитель.
• Решение можно записывать двумя действиями.
• Ответ нужно проверить по смыслу задачи.