"Математика (для обучающихся с интеллектуальными нарушениями) *", Капустина Г.М., Перова М.Н.
Обыкновенные дроби можно записывать по-разному, сохраняя одну и ту же часть целого. Например, ½ и ²⁄₄ показывают одинаковую долю. Это свойство помогает менять дроби так, чтобы с ними было удобнее работать: сокращать запись или получать одинаковые знаменатели. Главное правило — числитель и знаменатель изменяют одинаково: умножают или делят на одно и то же число. Такие преобразования нужны при сравнении, сложении и вычитании дробей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные обыкновенные дроби — дроби с разными числителями и знаменателями, обозначающие одну и ту же часть целого. Например, половину пирога можно разделить на 2 равные части и взять 1 часть, а можно разделить на 4 части и взять 2. Поэтому 1/2 = 2/4. Понятие равных дробей нужно, чтобы менять запись числа, не меняя его значения.
Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, значение дроби не изменится. Числитель — число над чертой, знаменатель — число под чертой. Например, 1/2 = 2/4, потому что оба числа умножили на 2. Это свойство позволяет получать равные дроби с удобными числителями или знаменателями.
Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на общий делитель, отличный от единицы. Общий делитель — число, на которое оба числа делятся без остатка. Например, в дроби 6/9 таким числом будет 3: после деления получим 2/3. Сокращение помогает записать дробь проще, не меняя её значения.
Приведение дробей к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Например, дроби 1/2 и 1/3 можно заменить дробями 3/6 и 2/6. Так становится удобнее сравнивать или складывать дроби, потому что они делятся на одинаковое число равных частей.
Представь круг, разделённый на две равные части: одна закрашена. Это половина круга. Если каждую половину разделить ещё пополам, весь круг будет состоять из четырёх равных частей, а закрашенными окажутся две. Часть круга не изменилась, хотя теперь её описывает дробь 2/4 вместо 1/2. Значит, одну и ту же величину можно выразить разными дробями.
Основное свойство можно понять через деление. Дробь 3/5 означает, что 3 делят на 5; если и 3, и 5 умножить на 2, получим 6/10, а частное останется тем же. При умножении каждая часть как бы делится на большее число одинаковых частей, и число взятых частей увеличивается во столько же раз. При делении числителя и знаменателя на одно и то же число запись становится короче, но доля сохраняется.
Чтобы сократить дробь, сначала ищут общий делитель её числителя и знаменателя. Например, у 8/12 общий делитель — 4: 8 : 4 = 2 и 12 : 4 = 3, поэтому 8/12 = 2/3. Делить нужно оба числа на один и тот же делитель, иначе получится другая доля. Если общий делитель больше единицы уже не находится, дробь сократить нельзя.
Иногда нужно записать дробь с заданным знаменателем. Например, чтобы получить знаменатель 10 у дроби 2/5, сравни знаменатели: 5 нужно умножить на 2. По основному свойству на 2 умножают и числитель: 2/5 = 4/10. Если новый знаменатель не делится на старый без остатка, таким способом получить равную дробь с ним нельзя.
Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, выбирают число, которое делится на каждый из их знаменателей. Затем для каждой дроби выясняют, во сколько раз её знаменатель нужно увеличить, и во столько же раз увеличивают числитель. Например, общий знаменатель для 2/3 и 3/4 — 12. Первая дробь превращается в 8/12, вторая — в 9/12, и обе сохраняют прежнее значение.
| Преобразование | Что делают с числителем и знаменателем | Пример | Для чего используют |
|---|---|---|---|
| Получение равной дроби умножением | Умножают оба числа на одно натуральное число. | 1/3 = 2/6 | Чтобы получить нужный знаменатель или удобную запись. |
| Получение равной дроби делением | Делят оба числа на один общий делитель. | 6/8 = 3/4 | Чтобы упростить дробь. |
| Сокращение дроби | Делят числитель и знаменатель на общий делитель, больший 1. | 8/12 = 2/3 | Чтобы записать дробь короче. |
| Приведение дробей к общему знаменателю | Подбирают общий знаменатель и одинаково изменяют числитель и знаменатель каждой дроби. | 1/2 = 3/6; 1/3 = 2/6 | Чтобы сравнивать, складывать или вычитать дроби. |
Сначала определи, какую задачу нужно решить: получить заданный знаменатель, сократить дробь или сделать знаменатели одинаковыми. Затем проверь, что числитель и знаменатель каждой дроби изменены одинаково. В последнем столбце можно найти, для чего применяется каждый способ.
Задача 1. Запиши дробь 2/5 в виде равной дроби со знаменателем 10. Нужно изменить знаменатель 5 на 10, не меняя значение дроби. Сначала выясним, во сколько раз увеличивается знаменатель, а затем применим такое же действие к числителю.
Ответ: 2/5 = 4/10. Проверка: знаменатель и числитель умножены на одно и то же число 2, поэтому дробь осталась равной исходной.
Задача 2. Сократи дробь 6/9. Нужно найти число, которое делит и 6, и 9 без остатка. Оба числа делятся на 3, поэтому можно разделить на него числитель и знаменатель. Выбираем общий делитель, а не отдельное число для каждого элемента дроби.
Ответ: 6/9 = 2/3. Дробь сокращена полностью, потому что её числитель и знаменатель уже нельзя разделить на одно общее число, кроме 1.
Задача 3. Приведи дроби 2/3 и 3/4 к общему знаменателю. Знаменатель должен делиться и на 3, и на 4; выберем 12. Для каждой дроби определим, во сколько раз нужно увеличить её знаменатель, а затем умножим числитель на такой же множитель.
Ответ: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12. Общий знаменатель выбран так, чтобы на него делились оба исходных знаменателя.
Иногда умножают или делят только числитель либо только знаменатель. Так меняется размер доли: например, 1/2 и 1/4 — не равные дроби. Ошибку допускают, сосредоточившись на нужном знаменателе и забыв о втором числе. Проверь себя: у числителя и знаменателя должен быть один и тот же множитель или делитель.
При сокращении нельзя делить числитель и знаменатель на разные числа. Например, если 6 разделить на 2, а 9 — на 3, получится 3/3, но это уже не та же дробь, что 6/9. Так делают, когда подбирают действия отдельно для каждого числа. Для проверки запиши деление в виде дроби: оба числа должны делиться на одно и то же число.
Сокращать можно только на общий делитель числителя и знаменателя. Если число делит один элемент дроби, но не делит другой без остатка, сокращение не получится. Ошибка возникает, если не проверить деление или принять делитель одного числа за общий. Перед сокращением раздели оба числа на выбранный делитель и убедись, что остатка нет.
При приведении к общему знаменателю можно умножить знаменатель и забыть умножить числитель. Тогда получится дробь с нужным знаменателем, но её значение изменится. Обычно так происходит, когда следят только за тем, чтобы знаменатели совпали. Проверь вычисление: для каждой дроби числитель и знаменатель должны быть умножены на одно и то же число.
Перед преобразованием дробей нужно знать, что показывает числитель и что показывает знаменатель. Также понадобятся умножение и деление натуральных чисел: с их помощью находят общий делитель и нужный множитель. Если эти действия даются трудно, полезно сначала потренироваться на небольших числах. Тогда будет проще проверить, делятся ли числа без остатка.
Преобразование дробей помогает сравнивать их: при одинаковых знаменателях можно сравнить числители. Оно также нужно для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Сначала такие дроби приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие. Поэтому навык преобразования пригодится в следующих задачах с обыкновенными дробями.
Почему дробь не меняется, если умножить числитель и знаменатель на одно число?
Дробь показывает деление числителя на знаменатель. Если оба числа умножить на одно и то же число, частное останется прежним. Например, 1/2 = 2/4.
Как понять, на какое число можно сократить дробь?
Найди число, на которое без остатка делятся и числитель, и знаменатель. Например, 6 и 9 делятся на 3, поэтому дробь 6/9 можно сократить на 3.
Можно ли сократить дробь, если числитель и знаменатель делятся на разные числа?
Нет, при сокращении оба числа делят на одно и то же число. Иначе значение дроби изменится. Число, на которое сокращают, должно быть общим делителем числителя и знаменателя.
Как выбрать общий знаменатель для двух дробей?
Нужно найти число, на которое без остатка делятся оба знаменателя. Например, для 3 и 4 подойдёт 12. Затем каждую дробь заменяют равной ей дробью со знаменателем 12.
Почему при приведении к общему знаменателю нужно менять числитель?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей взято. Если изменить только знаменатель, изменится сама дробь. Поэтому числитель умножают на то же число, что и знаменатель.
Преобразование обыкновенных дробей
