"Математика (для обучающихся с интеллектуальными нарушениями) *", Капустина Г.М., Перова М.Н.
Основное свойство дроби помогает записывать одно и то же число по-разному. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Это правило нужно, чтобы получать равные дроби, сокращать запись и сравнивать дроби. Главное — выполнять одинаковое действие с обоими числами дроби и не делить на ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробь — число, записанное в виде отношения числителя к знаменателю, например 2/3. Числа сверху и снизу разделены чертой, которая означает деление. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что делить на ноль нельзя. Это определение помогает отличать дробь от записи, в которой действие выполнить невозможно.
Числитель — число над чертой дроби. Он показывает, сколько равных частей целого взяли. Например, в дроби 3/5 взяли три части из пяти равных частей. По числителю можно понять, какую долю целого описывает дробь.
Знаменатель — число под чертой дроби. Он показывает, на сколько равных частей разделили целое. В дроби 3/5 целое поделено на пять частей, и каждая часть равна другим. Знаменатель нужен, чтобы знать размер одной доли и понимать, с чем сравнивают взятую часть.
Основное свойство дроби говорит: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Например, дроби 1/2 и 2/4 равны, хотя записаны по-разному. Это свойство нужно, чтобы получать равные дроби и менять их запись, не меняя самого числа.
Представь круг, разделённый на две равные части: одна закрашенная часть составляет половину круга. Если каждую половину разделить ещё на две одинаковые части, получится четыре четверти, и закрашенными окажутся две из них. Поэтому одна половина равна двум четвертям: 1/2 = 2/4. Размер закрашенной части не поменялся, изменилось только количество более мелких частей.
Умножая числитель и знаменатель на одно и то же число, мы как бы делим каждую прежнюю долю на одинаковое количество меньших долей. Число долей, которые взяли, тоже увеличивается во столько же раз. Поэтому общая часть целого остаётся прежней. Если изменить только числитель или только знаменатель, такого равного обмена долей не получится.
Правило можно записать так: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же ненулевое число, получится равная дробь. Например, в дроби 2/3 умножим оба числа на 3. Получим 2 × 3 = 6 и 3 × 3 = 9, значит, 2/3 = 6/9. Проверить себя можно по рисунку: две трети и шесть девятых занимают одинаковую часть целого.
Обратное действие называют сокращением дроби. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число без остатка, их можно разделить на этот общий делитель. Например, 8/12 разделим сверху и снизу на 4: 8 : 4 = 2, 12 : 4 = 3, поэтому 8/12 = 2/3. Запись стала короче, но значение дроби сохранилось.
При умножении или делении нужно менять оба числа дроби и выполнять с ними одно и то же действие. Если умножить числитель, оставив знаменатель прежним, дробь станет больше или изменит своё значение. При сокращении нельзя делить числитель и знаменатель на разные числа: равенство не сохранится. Множитель или делитель также не должен быть нулём, поскольку деление на ноль невозможно.
Сначала выбери действие, затем проверь, что оно одинаковое для числителя и знаменателя. Таблица показывает, как получить равную дробь умножением или сокращением. При сокращении общий делитель должен делить оба числа без остатка. После действия можно проверить, что получилась равная дробь.
| Действие | Что сделать с числителем | Что сделать со знаменателем | Результат |
|---|---|---|---|
| Умножение | Умножить на одно и то же ненулевое число | Умножить на это же число | Получить равную дробь |
| Деление (сокращение) | Разделить на общий делитель без остатка | Разделить на этот же делитель | Получить равную дробь |
Задача 1. Запиши дробь, равную 1/3, умножив числитель и знаменатель на 2. Чтобы дробь осталась равной исходной, нужно выполнить одинаковое действие с обоими числами. Поэтому сначала умножим числитель на 2, а затем знаменатель тоже на 2. Проверим полученную запись: множитель сверху и снизу один и тот же.
Ответ: 2/6. Числитель и знаменатель увеличились в одинаковое число раз, поэтому дробь не изменилась. Дроби 1/3 и 2/6 обозначают одну и ту же часть целого.
Задача 2. Сократи дробь 6/8, разделив числитель и знаменатель на 2. Сначала проверим, делятся ли оба числа на 2 без остатка. Затем выполним деление отдельно для числителя и знаменателя. Делитель одинаковый, поэтому по основному свойству дроби значение сохранится.
Ответ: 3/4. Оба числа исходной дроби разделили на общий делитель 2. Полученная дробь равна исходной, но записана с меньшими числами. Если бы одно из чисел не делилось на 2 без остатка, сократить дробь таким способом было бы нельзя.
Задача 3. Найди пропущенное число: 3/5 = 12/□. Числитель 3 увеличили до 12, значит, выясним, во сколько раз это произошло. Затем во столько же раз увеличим знаменатель 5. Так сохраняется равенство дробей: числитель и знаменатель меняются одинаково.
Ответ: 20. Проверим: 3 × 4 = 12 и 5 × 4 = 20. Значит, оба числа умножили на один и тот же множитель, поэтому дроби равны.
Иногда умножают числитель, но забывают умножить знаменатель. Тогда меняется только количество взятых частей, а их размер остаётся прежним, поэтому значение дроби меняется. Такую ошибку допускают, когда сосредотачиваются только на числе сверху. Проверь себя: после умножения рядом с обоими числами должен быть один и тот же множитель.
Другая ошибка — умножить числитель и знаменатель на разные числа. Например, при умножении числителя на 2 знаменатель тоже нужно умножить именно на 2, а не на другой множитель. Иначе части дроби изменятся неодинаково. Чтобы проверить запись, сравни оба действия: они должны быть одинаковыми.
При сокращении иногда делят числитель и знаменатель на разные числа или выбирают число, которое не делит одно из них без остатка. В первом случае дробь обычно меняет значение, а во втором деление выполняется неверно. Перед сокращением проверь, что выбранное число является общим делителем. Затем проверь деление обоих чисел и сравни полученную дробь с исходной.
Нельзя делить числитель и знаменатель на ноль. Такую попытку могут принять за обычное сокращение, но деление на ноль невозможно. Кроме того, если разделить знаменатель на ноль, он станет равен нулю, а знаменатель дроби не может быть нулевым. Перед любым делением убедись, что делитель не равен нулю.
Для работы с дробями нужно уметь находить числитель и знаменатель, а также умножать и делить натуральные числа. Эти навыки понадобятся, чтобы правильно выполнить одно и то же действие с обоими числами дроби. Основное свойство помогает сравнивать дроби и приводить их к общему знаменателю. Сокращение дроби позволяет записывать ответ проще, не меняя его значения.
Почему при умножении числителя и знаменателя на одно число дробь не меняется?
Каждую долю целого мы делим на одинаковое число более мелких долей, поэтому их становится больше, но взятая часть целого остаётся прежней. Например, половина и две четверти обозначают одну и ту же часть.
Можно ли умножать числитель и знаменатель на любое число?
Можно умножать на любое ненулевое число, если умножать и числитель, и знаменатель на один и тот же множитель. На ноль умножать нельзя: знаменатель станет равен нулю, а такая дробь не определена.
Что значит сократить дробь?
Сократить дробь — значит разделить её числитель и знаменатель на один и тот же общий делитель без остатка. Значение дроби не меняется, но её запись становится проще.
Как понять, на какое число можно сократить дробь?
Нужно найти число, на которое и числитель, и знаменатель делятся без остатка. Например, в дроби 6/8 оба числа делятся на 2, поэтому её можно сократить до 3/4.
Можно ли сокращать дробь, если числитель и знаменатель делятся на разные числа?
Нет, для сокращения нужно делить числитель и знаменатель на один и тот же общий делитель. Если делить их на разные числа, значение дроби обычно изменится.
Основное свойство дроби
