Ломаная линия

Определения и обозначения

Ломаная линия — линия, составленная из нескольких соединённых отрезков. Отрезки идут один за другим, поэтому линия может менять направление в местах соединения. Так называют не любой изгиб, а именно линию из прямых частей. Это определение помогает узнать ломаную среди других линий.

Звено ломаной — каждый отрезок, из которых она состоит. Если разделить ломаную по точкам соединения, отдельные части и будут её звеньями. Зная это слово, можно точно сказать, из скольких отрезков составлена линия. Звенья также измеряют, когда находят длину ломаной.

Вершина ломаной — общая точка, в которой соединяются два соседних звена. В ней заканчивается одно звено и начинается следующее. Вершины помогают увидеть, где части линии соединены и меняют направление. По ним удобно пересчитывать звенья, двигаясь вдоль ломаной.

Замкнутая ломаная — ломаная, у которой начало совпадает с концом; у незамкнутой ломаной начало и конец не совпадают. Это различие определяют, сравнивая две крайние точки пути. У незамкнутой линии они остаются раздельными, а у замкнутой линия приходит туда, откуда началась. Понятие нужно, чтобы различать открытые линии и контуры фигур.

Как это устроено

Ломаную получают, если последовательно соединить отрезки так, чтобы конец одного звена совпадал с началом следующего. Такое соединение необходимо, иначе части не образуют одну непрерывную линию. Каждый новый отрезок продолжает предыдущий от общей точки. Если отрезки соединены именно так, по ломаной можно пройти от её начала вдоль всех звеньев.

У ломаной есть звенья и вершины, потому что она образована отрезками, а соседние отрезки должны где-то соединяться. Крайние точки незамкнутой ломаной отличаются от вершин: в каждой из них заканчивается только одно звено. В вершине же сходятся два соседних звена. Это помогает не принять начало или конец открытой линии за точку соединения.

Чтобы определить число звеньев, нужно пересчитать все отрезки между соседними вершинами, не пропуская ни одного. Удобно вести счёт от одного края ломаной к другому и отмечать уже посчитанные части взглядом или карандашом. Так один отрезок не потеряется и не будет посчитан дважды. У замкнутой ломаной счёт тоже ведут по звеньям, пока не вернутся к начальной точке.

Ломаная может быть замкнутой или незамкнутой: это определяют по тому, совпадают ли её начальная и конечная точки. Сначала найди место, откуда начинается линия, затем проследи её до конца. Если путь заканчивается в исходной точке, он образует замкнутую ломаную. Если конец находится в другом месте, ломаная незамкнутая.

Длину ломаной находят, измеряя длину каждого звена и складывая полученные значения. Сложить нужно именно все части, потому что общий путь состоит из них целиком. Перед вычислением удобно записать длины по порядку, чтобы ничего не пропустить. Результат выражают в тех же единицах, в которых измеряли звенья.

Виды ломаных линий и их признаки

Чтобы определить вид ломаной, сначала сравни её начальную и конечную точки. Затем различай части линии и места их соединения: части — это звенья, а места соединения — вершины. Таблица помогает проверить, правильно ли названы элементы ломаной.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображена линия из трёх последовательно соединённых отрезков. Назови её и укажи число звеньев. Чтобы ответить, сначала проверим, что отрезки соединены последовательно и образуют одну линию. Затем посчитаем сами отрезки, а не точки их соединения.

1. Поскольку линия составлена из последовательно соединённых отрезков, это ломаная.
2. Пересчитываем отрезки: первый, второй, третий.
3. Каждый из этих отрезков является одним звеном.

Ответ: ломаная из трёх звеньев. Число звеньев равно числу составляющих её отрезков.

Задача 2. Начальная и конечная точки ломаной не совпадают. Определи, замкнутая она или незамкнутая, и назови её крайние точки. Для этого не нужно пересчитывать все звенья: достаточно сравнить две точки, в которых путь начинается и заканчивается. Так можно определить вид линии даже без измерений.

1. Находим начальную точку — место, откуда начинается ломаная.
2. Находим конечную точку и сравниваем её с начальной.
3. Точки не совпадают, значит, ломаная незамкнутая; обе найденные точки являются её крайними точками.

Ответ: ломаная незамкнутая. Её крайние точки — начальная и конечная точки, которые находятся в разных местах.

Задача 3. Длины звеньев ломаной равны 2 см, 4 см и 3 см. Найди длину ломаной. Общая длина пути складывается из длины каждого его звена. Поэтому запишем все данные длины и сложим их, не исключая ни одного отрезка.

1. Записываем длины звеньев: 2 см, 4 см и 3 см.
2. Складываем значения: 2 + 4 + 3 = 9.
3. Оставляем единицу измерения сантиметры, так как все звенья измерены в сантиметрах.

Ответ: длина ломаной равна 9 см. Проверка: в сумме учтены все три звена по одному разу.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют любую точку на линии. Так происходит, если забыть, что вершина связана именно с соединением частей. Проверь себя: в вершине должны встречаться два соседних звена. Крайняя точка незамкнутой ломаной таким условием не обладает.

Другая ошибка — считать звеньями точки соединения. Точки хорошо заметны, поэтому их легко пересчитать вместо отрезков. Но звено — это часть линии между соседними вершинами, а не сама вершина. Чтобы проверить ответ, укажи каждый отрезок, который посчитал звеном.

Можно перепутать замкнутую ломаную с незамкнутой, если смотреть только на её форму. Внешний вид не заменяет проверки начальной и конечной точек. Проследи путь от начала до конца и сравни эти точки. Если они совпадают, линия замкнута; если нет — незамкнута.

При нахождении длины иногда пропускают звено или считают его дважды. Такое случается, если складывать длины без последовательного осмотра всей линии. Запиши звенья по порядку и отмечай каждое после того, как учтёшь его в сумме. В конце сверь количество слагаемых с числом звеньев.

Связь с другими темами

Чтобы работать с ломаной, нужно уметь распознавать и измерять отрезки, отмечать точки и пользоваться линейкой. Эти навыки позволяют точно определять её состав и находить длину. Понятие ломаной пригодится при изучении многоугольников: их стороны образуют замкнутую ломаную. Сложение длин звеньев подготавливает к нахождению периметра многоугольника — суммы длин его сторон.

Что запомнить

• Ломаная состоит из отрезков.
• Отрезки ломаной называют звеньями.
• Соседние звенья соединяются в вершине.
• У незамкнутой ломаной начало и конец не совпадают.
• У замкнутой ломаной начало совпадает с концом.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.