Десятичная система счисления

Определения и обозначения

Десятичная система счисления — способ записи чисел с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Она называется десятичной, потому что соседние разряды отличаются в десять раз. Этих цифр достаточно, чтобы записать любое натуральное число и ноль.

Цифра — знак, с помощью которого записывают числа. Например, в записи 24 используются цифры 2 и 4, но само число состоит не из двух чисел, а из двух цифр. Это различие помогает не путать знак записи с количеством, которое он обозначает.

Разряд — место цифры в записи числа, от которого зависит её значение. Считая справа налево, сначала называют разряд единиц, затем десятков, сотен и тысяч. Разряд нужен, чтобы понять, какое количество обозначает каждая цифра.

Разрядная единица — единица, десяток, сотня, тысяча и другие значения разрядов. В разряде десятков разрядная единица равна 10, а в разряде сотен — 100. Названия и значения разрядных единиц показывают, как устроена запись многозначных чисел.

Как это устроено

Любое натуральное число и ноль можно записать, используя цифры от 0 до 9. Если цифр не хватает, запись продолжают, ставя нужные знаки рядом: так появляются числа из двух, трёх и большего числа цифр. Новые цифры не нужны, потому что положение знака сообщает, какое количество он обозначает.

Рассмотрим число 5836. Цифра 5 стоит в разряде тысяч и обозначает пять тысяч, 8 — восемь сотен, 3 — три десятка, а 6 — шесть единиц. Одинаковая цифра могла бы обозначать другое количество, если бы стояла на другом месте. Поэтому при чтении числа учитывают не только цифры, но и их разряды.

Разряды считают справа налево, начиная с единиц. Десяток состоит из десяти единиц, сотня — из десяти десятков, а тысяча — из десяти сотен. Поэтому каждый следующий разряд слева в десять раз больше предыдущего: 1, 10, 100, 1000 и так далее.

Число можно представить как сумму разрядных слагаемых: каждую цифру умножают на разрядную единицу, соответствующую её месту. Например, 5836 = 5 · 1000 + 8 · 100 + 3 · 10 + 6 · 1, то есть 5000 + 800 + 30 + 6. Каждое слагаемое показывает вклад одной цифры в число. Такая запись помогает проверять разрядный состав и выполнять вычисления.

Ноль показывает, что в определённом разряде нет единиц. В числе 7070 нули стоят на месте сотен и единиц, но сохраняют положение тысяч и десятков. Если убрать ноль, цифры сдвинутся, и получится уже другое число. Поэтому ноль не всегда означает, что его можно не записывать: в середине или в конце числа он удерживает разряд.

Разряды натурального числа

Чтобы пользоваться таблицей, найди разряд по месту цифры, считая справа налево. Затем посмотри, чему равна разрядная единица, и умножь её на цифру. Так можно быстро определить, какое значение имеет цифра 5 в записи числа.

Разбор задач

Составляем число по разрядному составу

Задача: записать число, состоящее из 4 сотен, 2 десятков и 7 единиц. Каждое указанное количество нужно поставить в соответствующий разряд. Разряды записывают в порядке от сотен к единицам, а число десятков и единиц задаёт последние цифры.

1. Четыре сотни дают цифру 4 в разряде сотен.
2. Два десятка дают цифру 2 в разряде десятков.
3. Семь единиц дают цифру 7 в разряде единиц.
4. Записываем цифры по порядку разрядов: 4, 2, 7.

Ответ: 427. Проверка: 427 = 400 + 20 + 7, значит, в числе действительно 4 сотни, 2 десятка и 7 единиц.

Раскладываем число на разрядные слагаемые

Задача: разложить число 5836 на разрядные слагаемые. Сначала определим разряд каждой цифры, двигаясь справа налево: 6 единиц, 3 десятка, 8 сотен и 5 тысяч. Затем каждую цифру заменим её значением в данном разряде. Такой порядок не позволяет принять цифру за её разрядное значение.

1. Цифра 5 стоит в разряде тысяч: 5 · 1000 = 5000.
2. Цифра 8 стоит в разряде сотен: 8 · 100 = 800.
3. Цифра 3 стоит в разряде десятков: 3 · 10 = 30.
4. Цифра 6 стоит в разряде единиц: 6 · 1 = 6.
5. Записываем сумму полученных значений: 5000 + 800 + 30 + 6.

Ответ: 5836 = 5000 + 800 + 30 + 6. Проверка: складываем разрядные значения и получаем исходное число.

Определяем значение одинаковых цифр и нулей

Задача: в записи числа 7070 определить значение каждой цифры 7 и объяснить, зачем стоят нули. Разряды находят, начиная справа: единицы, десятки, сотни, тысячи. После этого каждую семёрку связывают с её местом, а нули — с пустыми разрядами.

1. Первая слева цифра 7 стоит в разряде тысяч и обозначает 7000.
2. Следующая цифра 0 показывает, что в разряде сотен нет единиц.
3. Вторая цифра 7 стоит в разряде десятков и обозначает 70.
4. Последний 0 показывает отсутствие единиц и сохраняет место разряда единиц.

Ответ: значения семёрок — 7000 и 70; нули обозначают отсутствие сотен и единиц. Проверка: 7070 = 7000 + 70.

Типичные ошибки

• Одна и та же цифра не всегда обозначает одно количество: например, 7 в тысячах — это 7000, а в десятках — 70. Ошибку допускают, если смотрят только на знак, не учитывая его место. Проверь себя: назови разряд цифры и умножь её на разрядную единицу.

• Цифру путают с числом, хотя цифра — знак, а число может быть записано несколькими знаками. Путаница возникает из-за того, что число 5 и цифра 5 выглядят одинаково. Проверь себя: если речь о записи из нескольких знаков, это число, а каждый отдельный знак — цифра.

• Пропуск нуля может изменить число, потому что оставшиеся цифры займут другие разряды. Такое случается, когда ноль считают ненужным знаком. Проверь запись, назвав разряды справа налево и восстановив сумму разрядных значений.

• Разряды считают справа налево, а не слева направо. Слева направо легко ошибиться, потому что число обычно читают именно в этом направлении. Для проверки начни с последней цифры: это единицы, следующая — десятки, затем сотни и тысячи.

Связь с другими темами

Для изучения разрядов нужно знать натуральные числа, уметь считать и различать цифры, которыми эти числа записаны. Разрядный состав помогает читать и записывать многозначные числа, сравнивать их и выполнять сложение. Понимание того, как цифры занимают места в записи, пригодится при изучении десятичных дробей. Позиционный принцип также помогает разобраться, как устроены другие системы счисления.

Что запомнить

• В десятичной системе используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Десятичная система счисления является позиционной.
• Значение цифры зависит от её места в записи числа.
• Соседний разряд слева в десять раз больше предыдущего.
• Число можно представить суммой разрядных слагаемых.
• Ноль обозначает отсутствие единиц в разряде и помогает сохранить запись числа.