Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнить два числа — значит установить, какое из них больше, какое меньше или равны ли они. Например, сравнение помогает понять, где предметов больше или какое значение величины выше. Результат можно записать специальным знаком. Чтобы прочитать запись верно, всегда учитывай порядок чисел.

Знак «>» означает «больше»: число слева от знака больше числа справа. Например, 8 > 3 читают так: «восемь больше трёх». Эта запись показывает результат сравнения, а не просто соединяет числа. Она пригодится, когда нужно указать, какое из двух значений больше.

Знак «<» означает «меньше»: число слева меньше числа справа. Запись 4 < 7 читают «четыре меньше семи». Если поменять числа местами, изменится и знак: 7 > 4. Поэтому при чтении сначала смотри на левое число, а затем на правое.

Равные числа обозначают знаком «=», например 6 = 6. Записи со знаками «<» или «>» называют неравенствами, потому что они показывают, что числа не равны и одно из них больше другого. Эти обозначения позволяют коротко записывать результат сравнения. Перед чтением записи проверь, какой знак в ней стоит.

Как это устроено

Натуральные числа можно расположить на координатном луче — линии с началом и отметками чисел. Чем дальше точка находится от начала луча вправо, тем большему числу она соответствует. Поэтому из двух чисел больше то, которое расположено правее. Например, точка числа 9 находится правее точки числа 5, значит, 9 > 5.

Если у натуральных чисел разное количество цифр, больше то, в записи которого цифр больше. Это связано с разрядным составом: самое маленькое трёхзначное число, 100, больше самого большого двузначного числа, 99. По той же причине любое четырёхзначное число больше любого трёхзначного. Сначала посчитай цифры, а уже потом выбирай знак.

Когда количество цифр одинаково, сравнивай числа слева направо. Левые цифры обозначают старшие разряды: например, в трёхзначном числе первая цифра показывает число сотен. Если первые цифры различаются, число с большей цифрой в этом разряде и будет больше. До следующих разрядов в таком случае переходить не нужно.

Если первые цифры совпали, сравнивай следующие, пока не найдёшь первый разряд с разными цифрами. Именно он решает сравнение: разряды справа от него уже не могут изменить результат. Например, при сравнении 472 и 459 цифры сотен равны, а цифра десятков в первом числе больше. Если же все цифры в соответствующих разрядах совпадают, числа равны.

Знак в записи зависит от того, какое число стоит слева и какое справа. Сначала произнеси сравнение словами, например: «три больше двух», а затем запиши 3 > 2. Так легче не перепутать направление знака. Для равных чисел ставят «=», а не знак больше или меньше.

Как сравнивать натуральные числа

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь количество цифр, а затем — если оно одинаковое — сравни разряды. Когда результат найден, запиши числа в заданном порядке и поставь подходящий знак. Если цифры совпали во всех разрядах, поставь знак равенства.

Разбор задач

Сравнить 508 и 76

У этих чисел разное количество цифр, поэтому нет необходимости сразу разбирать разряды. Сначала посчитаем цифры в каждой записи. Число с большим количеством цифр будет больше.

1. В числе 508 три цифры.
2. В числе 76 две цифры.
3. Трёхзначное число больше двузначного, поэтому ставим знак «>» между 508 и 76.

Ответ: 508 > 76.

Сравнить 472 и 459

В обоих числах по три цифры, значит, сравнить их только по количеству цифр нельзя. Начинаем с левой цифры — разряда сотен. Если она совпадает, переходим к десяткам и ищем первый разряд, в котором значения различаются.

1. Сотни совпадают: в обоих числах стоит цифра 4.
2. Сравниваем десятки: 7 больше 5. Это первый разряд, в котором цифры различаются.
3. Значит, число 472 больше числа 459; ставим знак «>».

Ответ: 472 > 459.

Расставить знаки: 3205 □ 3250, 708 □ 708, 999 □ 1000

Сравним каждую пару отдельно и выберем подходящий способ. В первых двух парах количество цифр одинаковое, поэтому проверяем разряды слева направо. В последней паре числа имеют разное количество цифр.

1. 3205 и 3250 — оба четырёхзначные. Тысячи совпадают, сотни тоже, а десятки различаются: 0 < 5. Поэтому 3205 < 3250.
2. В записи 708 и 708 все цифры совпадают. Значит, числа равны: 708 = 708.
3. 999 — трёхзначное число, а 1000 — четырёхзначное. Число с большим количеством цифр больше: 999 < 1000.

Ответ: 3205 < 3250, 708 = 708, 999 < 1000.

Типичные ошибки

Некоторые сравнивают числа по последней цифре и считают, что число с большей последней цифрой всегда больше. Так можно ошибиться, потому что сначала учитывают старший разряд, а последняя цифра показывает только единицы. Проверяй число слева направо: сравни сначала количество цифр, а при одинаковом количестве — старшие разряды.

Другая ошибка — сравнивать отдельные цифры, не обращая внимания на разряд. Например, цифра десятков означает десятки, а цифра единиц — единицы, поэтому одинаковые цифры в разных местах имеют разное значение. Учитывай место каждой цифры в записи числа. Для самопроверки назови разряд, в котором найдено первое различие.

Знаки «>» и «<» легко перепутать, если не смотреть, какое число стоит слева. Тогда можно правильно сравнить числа, но неверно записать ответ. Прочитай выражение словами в том же порядке: например, 6 > 2 — «шесть больше двух». Убедись, что знак соответствует этой фразе.

Иногда числа считают равными, если в них совпадает несколько цифр, например первые. Но для равенства этого недостаточно: должны совпасть все цифры в соответствующих разрядах. Сравни записи от первой цифры до последней. Если нашёл хотя бы одно различие, числа не равны.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать числа, нужно знать, как устроена их десятичная запись и что такое разрядный состав числа. Разряд показывает значение цифры в её месте: единицы, десятки, сотни и так далее. Эти знания объясняют, почему при одинаковом количестве цифр сравнение начинают слева, со старших разрядов.

Сравнение помогает располагать числа по порядку и работать с координатным лучом: большее число отмечают правее. Оно также нужно в задачах с величинами, например при сравнении длины или массы. Сначала выражают результаты числами, затем выясняют, какое значение больше или меньше.

Что запомнить

• Сравнить числа — значит определить, какое больше, или установить, что они равны.
• Знак «>» читают «больше», знак «<» — «меньше», знак «=» — «равно».
• Из двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше то, у которого цифр больше.
• Числа с одинаковым количеством цифр сравнивают слева направо.
• Если первые цифры совпадают, переходят к следующим, пока не найдут различающиеся.
• На координатном луче больше число, расположенное правее.