Десятичная система счисления

Определения и обозначения

Десятичная система счисления — система записи чисел, в которой используются десять цифр, а значение цифры зависит от её места. Она позволяет записывать и большие числа, и маленькие, используя один и тот же набор знаков. Чтобы понять значение записи, нужно учитывать не только сами цифры, но и их порядок.

Цифра — один из десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры служат «буквами» для записи чисел, но число и цифра — не одно и то же. Например, 572 — число, записанное тремя цифрами.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее, сколько единиц соответствующего порядка она обозначает. Разряд помогает понять, обозначает ли цифра единицы, десятки, сотни или тысячи. Без знания разряда нельзя правильно прочитать число и разложить его на части.

Разрядная единица — единица, равная 1, 10, 100, 1000 и так далее; каждая следующая разрядная единица в десять раз больше предыдущей. Она показывает, сколько единиц содержится в одном разряде: один десяток равен десяти единицам, а одна сотня — десяти десяткам. С её помощью удобно выражать значение каждой цифры.

Как это устроено

Система называется десятичной, потому что для записи чисел достаточно десяти цифр. Если единиц одного разряда становится десять, их объединяют в одну единицу следующего разряда: десять единиц составляют десяток, а десять десятков — сотню. Поэтому каждый шаг влево в записи увеличивает значение разряда в десять раз.

Место цифры меняет её значение, потому что разряды обозначают единицы разного порядка. В числе 444 первая справа цифра означает 4 единицы, следующая — 4 десятка, а третья — 4 сотни. Одинаковый знак повторяется, но его вклад в число каждый раз другой из-за позиции.

Чтобы представить число суммой разрядных слагаемых, каждую цифру умножают на разрядную единицу, соответствующую её месту, а затем складывают результаты. Так запись числа раскрывает, из каких частей оно состоит. Например, в 572 цифры дают 5 · 100, 7 · 10 и 2 · 1, то есть 500 + 70 + 2.

Ноль нужен, чтобы обозначить отсутствие единиц в конкретном разряде и сохранить места остальных цифр. В записи 308 ноль говорит, что десятков нет, но цифра 3 всё равно стоит в разряде сотен, а 8 — в разряде единиц. Если убрать ноль, получится 38, и значение числа изменится.

Многозначное число читают, определяя значение каждой группы цифр. Для этого запись справа налево делят на классы по три цифры: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и далее. Сначала называют число единиц каждого класса, а затем его название; нулевые классы обычно не произносят, но их места сохраняют в записи.

Разряды десятичной записи числа

Чтобы пользоваться таблицей, найди нужный разряд и посмотри, какой разрядной единице он соответствует. Затем умножь цифру на эту единицу: например, 4 в разряде сотен обозначает 400. Так можно определить вклад любой цифры в многозначное число.

Разбор задач

Запиши число 572 в виде суммы разрядных слагаемых.

Нужно выяснить, сколько сотен, десятков и единиц обозначает каждая цифра. Разряды отсчитываем справа налево: единицы, десятки, сотни. После этого записываем значение каждой цифры отдельным слагаемым.

1. Цифра 5 стоит в разряде сотен и обозначает 5 · 100 = 500.
2. Цифра 7 стоит в разряде десятков и обозначает 7 · 10 = 70.
3. Цифра 2 стоит в разряде единиц и обозначает 2 · 1 = 2.
4. Складываем полученные значения: 500 + 70 + 2.

Ответ: 572 = 500 + 70 + 2.

Запиши число, в котором 3 тысячи, 0 сотен, 8 десятков и 6 единиц.

Каждое названное значение занимает свой разряд, поэтому цифры нужно расположить по порядку от тысяч к единицам. В разряде сотен указано ноль, значит, этот разряд нельзя пропустить. Ноль удерживает на месте остальные цифры.

1. В разряд тысяч записываем 3.
2. В разряд сотен записываем 0, так как сотен нет.
3. В разряды десятков и единиц записываем соответственно 8 и 6.
4. Соединяем цифры в заданном порядке: 3086.

Ответ: 3086.

В записи числа 46 205 объясни значение каждой цифры и представь число суммой разрядных слагаемых.

Начинаем определять разряды справа налево, потому что крайняя правая цифра всегда обозначает единицы. Ноль в разряде десятков означает, что десятков нет, но он оставляет цифру 2 в разряде сотен. Затем заменяем каждую ненулевую цифру её значением и складываем части.

1. 5 — 5 единиц, 0 — 0 десятков, 2 — 2 сотни.
2. 6 стоит в разряде тысяч и обозначает 6 тысяч; 4 — в разряде десятков тысяч и обозначает 4 десятка тысяч.
3. Записываем слагаемые: 40 000, 6 000, 200 и 5. Слагаемое 0 десятков можно не записывать.
4. Складываем: 40 000 + 6 000 + 200 + 5 = 46 205.

Ответ: 4 — десятки тысяч, 6 — тысячи, 2 — сотни, 0 — десятки, 5 — единицы; 46 205 = 40 000 + 6 000 + 200 + 5.

Типичные ошибки

Ошибка — думать, что цифра всегда обозначает одно и то же количество. Так считают, если смотрят только на знак и не замечают его позицию. Проверь себя: назови разряд цифры; например, 4 в числе 444 означает 4 единицы, 4 десятка или 4 сотни в зависимости от места.

Если пропустить ноль внутри записи, цифры переместятся в другие разряды, и число изменится. Это часто происходит, когда ноль принимают за знак, который ничего не значит и который можно убрать. Для проверки назови разряды по порядку: в 308 цифра 3 должна оставаться в сотнях, а 8 — в единицах.

Цифра и число — разные понятия: цифра является знаком, а число может быть записано несколькими знаками. Путаница возникает потому, что простое число, например 7, записывается одной цифрой. Проверь себя: если запись состоит из нескольких знаков, перед тобой число, составленное из цифр, например 572.

Разрядные слагаемые нельзя записывать, не учитывая место цифры. Например, в числе 572 цифра 7 — это 7 десятков, а не 7 единиц; ошибку легко допустить, если начать разбор не с правого края. Сверь каждый разряд с таблицей: после записи слагаемых их сумма должна снова давать исходное число.

Связь с другими темами

Перед изучением разрядов нужно знать натуральные числа и уметь складывать числа, представленные как сумма слагаемых. Это позволяет понять, почему разложение 572 на 500, 70 и 2 сохраняет исходное значение. Если сложить эти части, получится то же число.

Разрядная запись понадобится при чтении и сравнении многозначных чисел, письменных вычислениях и округлении. Она помогает увидеть, в каких разрядах числа различаются и какой вклад в итог дают отдельные цифры. Поэтому умение определять разряды используется во многих темах математики.

Что запомнить

• В десятичной системе используются десять цифр: от 0 до 9.
• Значение цифры определяется её местом в записи числа.
• Каждый следующий разряд справа налево в десять раз больше предыдущего.
• Ноль обозначает отсутствие единиц в соответствующем разряде.
• Любое многозначное число можно представить суммой разрядных слагаемых.