18.1. Что значит измерить угол?

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Общую точку называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Например, в угле ABC вершина — B, а стороны — лучи BA и BC. Эти названия помогают точно объяснять, какой угол измеряют или строят.

Градус — единица измерения углов; один градус равен одной сто восьмидесятой части развёрнутого угла. Его обозначают маленьким кружком: 1°. Если разделить развёрнутый угол на 180 одинаковых частей, каждая часть будет равна одному градусу. Такая общая единица позволяет сравнивать углы и записывать их величины числом.

Градусная мера угла — число градусов, которое показывает, во сколько раз угол больше угла в один градус. Её записывают числом и знаком градуса, например 70°. Это число нужно, чтобы отличать углы с разным раскрытием и выполнять задания на измерение и построение. Чем больше градусная мера, тем шире раскрыты стороны угла.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов, имеющий шкалу от 0° до 180°. На шкале отмечены градусы, а в середине инструмента обычно есть центр или небольшая метка для совмещения с вершиной. Транспортир нужен, когда угол нельзя определить по виду достаточно точно. Его важно правильно расположить, иначе шкала покажет неверный результат.

Как это устроено

Измерить угол — значит сравнить его с выбранной единицей и определить, сколько таких единиц в нём содержится. Представь, что маленькую часть величиной 1° можно прикладывать к углу снова и снова. Сколько таких частей поместится внутри, столько градусов и будет в угле. На практике части не прикладывают по одной: транспортир уже размечен на градусы и помогает сразу получить число.

За единицу измерения принимают градус: развёрнутый угол делят на 180 равных частей, поэтому его градусная мера равна 180°. Развёрнутый угол похож на прямую линию: его стороны направлены в противоположные стороны. Деление на равные части удобно тем, что все углы измеряют одной и той же мерой. Поэтому величину любого угла можно выразить числом градусов и сравнить с 180°.

Чтобы измерить угол транспортиром, нужно совместить его центр с вершиной угла, а одну сторону — с началом шкалы 0°. Центр ставят на вершину потому, что именно от неё расходятся стороны. Сторону совмещают с нулём, чтобы отсчёт начинался от края угла, а не от случайной отметки. Если транспортир немного сдвинуть или повернуть не так, его деления перестанут соответствовать сторонам угла.

Показание снимают по той шкале транспортира, начало которой совпало со стороной угла; число у второй стороны показывает градусную меру. На транспортире могут быть две шкалы, которые идут в противоположных направлениях. Поэтому сначала найди ноль у совмещённой стороны и следуй именно по этой шкале. Вторая сторона может пересечь разные числа на двух шкалах, но подходит только одно из них — то, что отсчитывается от нужного нуля.

Величина угла зависит от раскрытия его сторон, а не от длины лучей и размера изображения угла. Если удлинить один или оба луча, их направления не изменятся, значит, не изменится и угол между ними. На маленьком рисунке и на большом рисунке один и тот же угол может выглядеть по-разному. Это важно помнить: измеряют расстояние между направлениями сторон, а не длину нарисованных отрезков.

Виды углов и их градусные меры

Чтобы определить вид угла, сначала сравни его градусную меру с 90° и 180°. Например, число между 90° и 180° означает тупой угол. Полный угол больше развёрнутого: он показывает один полный поворот.

Разбор задач

Измерение угла ABC

Условие. Нужно измерить угол ABC на рисунке с помощью транспортира и записать его градусную меру. Численное значение зависит от того, как именно проведены стороны на рисунке, поэтому его нельзя определить без самого изображения. Выполним действия, по которым можно получить точный ответ на своём рисунке.

1. Определи вершину угла: это точка B. Найди на транспортире центральную метку и поставь её точно на B.
2. Поверни транспортир так, чтобы луч BA совпал с отметкой 0°. Проверь, что луч проходит через начало шкалы, а не просто лежит рядом с краем инструмента.
3. Посмотри, где луч BC пересекает шкалу. Выбери показание на шкале, которая начинается с нуля у луча BA.
4. Запиши число вместе со знаком градуса. Например, если луч BC пересёк нужную шкалу на отметке 60, запись будет ∠ABC = 60°.

Ответ. Градусная мера ∠ABC равна числу градусов у луча BC на правильно выбранной шкале. Если шкала показывает 60, ответ записывают так: ∠ABC = 60°. На другом рисунке значение может быть иным, поэтому его нужно считать именно со своего изображения.

Определение вида угла

Условие. Определи, какой угол изображён, если его градусная мера равна 35°, 90° или 125°. Для решения не обязательно представлять каждый угол на рисунке: достаточно сопоставить числа с прямым углом, равным 90°. Так мы используем числовую меру, а не только внешний вид.

1. Сравни 35° с 90°. Число меньше, поэтому угол острый.
2. Сравни 90° с 90°. Числа равны, значит, угол прямой.
3. Сравни 125° с 90° и 180°. Это число больше 90°, но меньше 180°, поэтому угол тупой.

Ответ. Угол 35° — острый, 90° — прямой, 125° — тупой. Граница между острыми и тупыми углами проходит по 90°. Развёрнутым был бы угол ровно 180°.

Построение углов 70° и 140°

Условие. Построй с помощью транспортира угол величиной 70°, а затем угол величиной 140°. Для каждого угла сначала понадобится один луч, от которого будет начинаться отсчёт. Нужное деление выбирают по шкале, чей ноль совмещён с этим лучом.

1. Проведи луч с началом в точке O. Поставь центр транспортира на O и совмести луч с отметкой 0°.
2. Найди на подходящей шкале отметку 70° и поставь рядом с ней точку. Убери транспортир и проведи из O второй луч через эту точку.
3. Для угла 140° выбери новую вершину и снова проведи первый луч. Совмести с ним транспортир и отметь на той же начинающейся с нуля шкале деление 140°.
4. Проведи второй луч через отметку и проверь: раскрытие угла 140° должно быть шире прямого угла, а 70° — уже прямого.

Ответ. Получены углы 70° и 140°. Проверка по их положению помогает заметить ошибку: 70° — острый угол, а 140° — тупой. Если получилось наоборот, вероятно, была выбрана не та шкала или отмечено неверное деление.

Типичные ошибки

Иногда считывают не ту шкалу транспортира, потому что смотрят на число у второй стороны, не проверив начало отсчёта. При двух шкалах одно и то же место может соответствовать двум разным числам. Проверь, у какого нуля лежит совмещённая сторона, и читай только эту шкалу. Если ответ не похож на раскрытие угла, повтори проверку.

Другая ошибка — поставить центр транспортира рядом с вершиной, а не точно на неё. Это случается, когда ученик ориентируется на край инструмента и не замечает центральную метку. Сдвиг меняет положение делений относительно сторон, поэтому показание будет неправильным. Перед отсчётом проверь сразу две точки: центр на вершине, ноль на стороне.

Угол иногда считают большим или маленьким из-за длины сторон либо размера рисунка. Так происходит потому, что длинные линии могут зрительно казаться важнее, хотя они только показывают направления сторон. Чтобы проверить себя, представь, что лучи продолжили или укоротили: раскрытие между ними останется тем же. Сравнивать нужно именно раскрытие, а точное число определять транспортиром.

Градусную меру могут спутать с количеством штрихов или записать без знака градуса. Штрихи служат отметками шкалы, а ответом является число градусов, которое показывает нужное деление. Сразу после числа ставь знак °: например, 70°, а не просто 70. Для самопроверки произнеси ответ словами: «семьдесят градусов».

Связь с другими темами

До измерения углов полезно знать, что такое луч, его начало и направление, а также уметь находить точку на шкале линейки. Эти умения помогают распознать вершину, стороны угла и аккуратно совместить их с транспортиром. Позже градусная мера пригодится, чтобы сравнивать и классифицировать углы. Она также нужна при построении геометрических фигур и решении задач, где требуется найти неизвестный угол.

Что запомнить

• Измерить угол — значит узнать его градусную меру.
• Единица измерения углов — градус.
• Развёрнутый угол равен 180°.
• Центр транспортира совмещают с вершиной угла.
• Одну сторону угла совмещают с отметкой 0°.
• Градусную меру считывают по шкале, начинающейся с совмещённого с лучом нуля.
• Величина угла не зависит от длины его сторон.