18.2. Градусная мера угла

Определения и обозначения

Градусная мера угла — числовое значение, показывающее, сколько градусов содержит угол. Её записывают числом со значком °, например 60°. Такая мера нужна, чтобы точно описывать угол и сравнивать его с другими, а не только говорить, что он «широкий» или «узкий».

Градус — единица измерения углов; один градус составляет одну 180-ю часть развернутого угла. Его обозначают значком °: 1°. Единая единица позволяет измерять углы и записывать результат так, чтобы его можно было понять и проверить.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов в градусах. На нём есть центр, прямая отметка 0° и шкалы с делениями. Он нужен, когда требуется узнать точную меру угла или начертить угол заданной величины.

По градусной мере различают острый, прямой, тупой, развернутый и полный углы. Острый меньше прямого, прямой равен ему, тупой больше прямого, но меньше развернутого. Эти названия помогают быстро определить форму угла по его числовой мере.

Как это устроено

Развернутый угол похож на прямую линию: его стороны направлены в противоположные стороны. Его приняли за 180°, а не за другое число, потому что так договорились делить полный оборот на градусы: полный оборот содержит два развернутых угла. Прямой угол получается, если развернутый разделить пополам, поэтому его мера — 180° : 2 = 90°. Такая договорённость даёт удобную общую меру для всех углов.

Градусная мера показывает, насколько нужно повернуть одну сторону угла, чтобы она совпала с другой. Поэтому она не меняется, если стороны сделать длиннее или короче: величина поворота остаётся прежней. Представь раскрывающиеся ножницы — расстояние от винта до концов лезвий может измениться, но угол между лезвиями определяется именно их раскрытием. Так можно отличить размер угла от длины его сторон.

Если луч проходит внутри угла и делит его на две части, весь поворот состоит из поворота до луча и поворота от луча до второй стороны. Поэтому градусные меры этих частей складываются, как части одной величины. Например, части в 30° и 40° составляют угол в 70°. Это свойство помогает находить неизвестную меру и проверять результаты измерений.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала приложи его к углу, а не просто расположи рядом. Центр транспортира должен совпасть с вершиной, а прямая отметка 0° — лечь вдоль одной стороны. Затем найди шкалу, у которой отсчёт начинается с нуля у этой стороны, и посмотри, какое деление пересекает другая сторона. Если начать считать от противоположного нуля, получится неверное число.

Сравнивая углы по градусной мере, сравнивают числа: например, 50° меньше 80°, значит, первый угол меньше второго. Для определения вида сравнивают меру угла с 90° и 180°. Мера меньше 90° означает острый угол, ровно 90° — прямой, между 90° и 180° — тупой, а ровно 180° — развернутый. Так числовая запись помогает не только сравнить углы, но и назвать каждый из них.

Виды углов и их градусные меры

Чтобы воспользоваться таблицей, найди строку, подходящую к известной мере угла. Если число находится между 90° и 180°, угол тупой; если оно меньше 90° — острый. Для точных значений 90° и 180° используй отдельные строки.

Разбор задач

Задача 1. Измерить угол ABC с помощью транспортира и записать его градусную меру. Вершина угла — точка B, а его стороны — лучи BA и BC. Числовой результат нельзя определить без измерения самого чертежа, поэтому важно правильно выполнить каждое действие с транспортиром.

1. Поставь центр транспортира точно на вершину B.
2. Совмести прямую отметку 0° с одной стороной угла, например с лучом BA.
3. Выбери шкалу, которая начинается с этого нуля, и найди деление, через которое проходит луч BC.
4. Запиши найденное число со значком градусов: если луч BC попал на 65°, то ∠ABC = 65°.

Ответ: градусная мера ∠ABC равна числу градусов, показанному транспортиром. Проверь, что центр остался на B, а отсчёт начат со стороны BA. Если получилось неожиданное значение, например острый угол измерен как больше 90°, ещё раз проверь, ту ли шкалу ты выбрал.

Задача 2. Определить вид угла, если его градусная мера равна 135°, 90° или 42°. Здесь транспортир не нужен: у каждой меры уже есть числовое значение. Нужно сравнить его с 90° и 180° — мерами прямого и развернутого углов.

1. 135° больше 90°, но меньше 180°, значит, это тупой угол.
2. 90° равно мере прямого угла, значит, угол прямой.
3. 42° меньше 90°, значит, угол острый.

Ответ: 135° — тупой, 90° — прямой, 42° — острый. Сначала сравни число с 90°, а если оно больше, проверь, меньше ли оно 180°. Именно границы помогают не перепутать виды углов.

Задача 3. Луч OC делит угол AOB на два угла. Известно, что ∠AOC = 37°, а ∠COB = 58°. Нужно найти меру всего угла AOB. Поскольку луч OC проходит внутри угла, две части вместе образуют целый угол и их меры складываются.

1. Запиши правило: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.
2. Подставь данные: ∠AOB = 37° + 58°.
3. Сложи числа: 37 + 58 = 95.
4. Запиши ответ с обозначением градусной меры.

Ответ: ∠AOB = 95°. Это больше 90°, но меньше 180°, поэтому весь угол тупой. Проверка по границам подтверждает, что результат согласуется с мерой частей.

Типичные ошибки

При измерении иногда считывают не ту шкалу: транспортир приложен правильно, но отсчёт начинают от нуля на противоположной стороне. Так происходит, потому что на инструменте нанесены две шкалы с разным направлением счёта. Проверь, у какого нуля лежит сторона угла, и считай именно от него; оценка вида угла тоже поможет заметить ошибку.

Другая ошибка — не совместить центр транспортира с вершиной. Тогда стороны угла пересекают шкалы не там, где должны, и показание получается искажённым. Перед считыванием проверь, что отметка центра находится точно на вершине, а нулевая линия совпадает с одной стороной. Если прибор сдвинулся, поправь его и измерь заново.

Иногда градусную меру путают с длиной сторон и думают, что длинные стороны образуют больший угол. Это неверно: при удлинении сторон величина поворота между ними может не измениться. Чтобы проверить себя, представь, что обе стороны продолжаются дальше от вершины: сам угол останется тем же. Сравнивать нужно раскрытие сторон, а не расстояние до их концов.

Можно также назвать угол в 90° острым, а угол между 90° и 180° — развернутым. Обычно так случается, если ученик ориентируется только на внешний вид или забывает точные границы. Сверь меру с определениями: острый меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°, развернутый равен 180°. Такая проверка не позволит перепутать названия.

Связь с другими темами

Перед изучением градусной меры нужно знать, что такое угол, его вершина и стороны, а также различать прямой, острый, тупой и развернутый углы. Эти понятия помогают понять, что именно показывает транспортир. Умение измерять и строить углы пригодится при решении задач на сложение и вычитание углов. Позже градусную меру используют при изучении многоугольников, треугольников, окружности и геометрических построений.

Что запомнить

• Градус — единица измерения углов.
• Развернутый угол равен 180°.
• Прямой угол равен 90°.
• Острый угол меньше 90°, а тупой больше 90°, но меньше 180°.
• Градусная мера не зависит от длины сторон угла.
• Градусные меры частей угла складываются.
• Для измерения и построения углов используют транспортир.