"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Точка, прямая, отрезок, луч и угол — простейшие геометрические фигуры, из которых складываются более сложные чертежи. Точка задаёт положение, прямая помогает описывать направление, а отрезок имеет длину, которую можно измерить. Луч показывает направление от начальной точки, а два луча с общим началом образуют угол. Чтобы читать и создавать чертежи, нужно уметь распознавать эти фигуры, правильно их обозначать и находить длины отрезков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точка — основной геометрический объект, у которого нет размера. На чертеже её обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. Это позволяет точно назвать место, о котором говорится в задаче, и не путать его с другими местами.
Прямая — бесконечная линия без концов. Её обозначают двумя заглавными буквами, названиями точек на ней, например AB, или одной строчной латинской буквой, например a. Такое обозначение помогает указать, о какой линии идёт речь, даже если на рисунке показана лишь её часть.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя концами. Его обозначают двумя заглавными буквами, называя концы: отрезок AB имеет концы A и B. Длину отрезка можно измерить линейкой и записать, например AB = 5 см; это свойство используют при решении задач.
Луч имеет начало, но не имеет конца и продолжается в одном направлении. Его называют двумя буквами, причём первой записывают начальную точку: луч CD начинается в C и проходит через D. Угол образован двумя лучами с общим началом; его обозначают тремя буквами, ставя букву вершины посередине, например ∠ABC, или одной буквой вершины, если понятно, какой угол имеется в виду.
Точку считают исходным понятием: её не определяют через более простые геометрические объекты, потому что таких объектов в геометрии нет. Она нужна, чтобы точно указывать положение и задавать границы фигур. В действительности геометрическая точка не имеет размера, но на бумаге её нельзя увидеть, поэтому ставят маленькую отметку. Размер отметки нужен только для рисунка и не является размером самой точки.
Прямая на чертеже выглядит как ограниченная линия, потому что лист бумаги и экран имеют конечный размер. Однако изображение — лишь небольшой видимый участок прямой, а не вся фигура. Прямую можно мысленно продолжать в обе стороны без конца, поэтому её концы не задают. Стрелки на рисунке напоминают, что линия не обрывается там, где закончился штрих.
От прямой можно выделить разные фигуры, отметив на ней точки. Если выбрать две точки и взять всю часть линии между ними, получится отрезок с двумя концами. Если оставить только одну начальную точку и взять линию от неё в одном направлении, получится луч. Так число и расположение концов помогают различать фигуры даже тогда, когда на рисунке изображены только короткие участки.
Точки на прямой можно сравнивать по их расположению: одна может лежать левее другой или находиться между двумя другими. Если B лежит между A и C, то отрезок AC состоит из частей AB и BC. Отсюда следует правило AC = AB + BC: длины частей складывают, чтобы получить длину целого. Длина отрезка — это расстояние между его концами, которое измеряют в миллиметрах, сантиметрах и других единицах длины.
Два луча с общим началом образуют угол, а их общая начальная точка называется вершиной. Лучи задают стороны угла, поэтому важно знать и вершину, и направление обеих сторон. В записи ∠ABC средняя буква B обозначает вершину, а A и C — точки на сторонах угла. Одной буквой угол называют только тогда, когда по чертежу ясно, о каком именно угле идёт речь.
| Фигура | Как обозначают | Концы и границы | Что можно измерить |
|---|---|---|---|
| Точка | Заглавной буквой: A | Не имеет концов | Размер не измеряют |
| Прямая | Двумя точками или строчной буквой: AB, a | Не имеет концов, бесконечна в обе стороны | Длину всей прямой не измеряют |
| Отрезок | Двумя буквами концов: AB | Имеет два конца | Длину |
| Луч | Двумя буквами: CD, первая — начало | Одно начало, конца нет | Длину всего луча не измеряют |
| Угол | Тремя буквами или буквой вершины: ∠ABC, ∠B | Две стороны-луча с общей вершиной | Величину угла |
Сначала посмотри, как обозначена фигура, затем проверь, сколько у неё концов или границ. В последнем столбце указано, какое измерение имеет смысл для каждой фигуры. Например, у отрезка измеряют длину, а бесконечную прямую целиком измерить нельзя.
На рисунке отмечены точки A, B и C. Назовите все отрезки, концы которых являются этими точками, и запишите их обозначения. Нужно составить пары из трёх точек: каждый отрезок определяется двумя концами, поэтому порядок букв в названии пары не создаёт новый отрезок.
Выберем точку A и по очереди соединим её с оставшимися точками: получатся отрезки AB и AC. Это все пары с точкой A.
Теперь рассмотрим оставшуюся пару B и C. Она задаёт ещё один отрезок — BC. Других пар точек среди A, B и C нет.
Ответ: AB, AC и BC.
Проведите прямую AB, луч CD и отрезок EF. Укажите, в каком направлении можно продолжить каждую из изображённых фигур. Буквы подсказывают, как подписать фигуры, но продолжение определяют их свойства: у прямой нет концов, у луча есть начало, а у отрезка два конца.
Прямую AB проводят через точки A и B и показывают стрелками продолжение за обе точки. Значит, её продолжают в обе стороны.
Луч CD начинается в C и проходит через D. Его продолжают за D, но не за C, потому что C — начальная точка луча.
Отрезок EF ограничен точками E и F. За его концы фигура не продолжается: иначе это уже не был бы отрезок EF.
Ответ: прямую AB продолжают в обе стороны, луч CD — от C через D и дальше, отрезок EF не продолжают за концы.
На прямой отмечены точки A, B и C, причём B лежит между A и C; AB = 4 см, BC = 7 см. Найдите AC. Так как B находится внутри отрезка AC, части AB и BC вместе составляют весь отрезок, поэтому их длины нужно сложить.
Запишем правило для точки между концами: AC = AB + BC. Оно подходит именно потому, что B лежит между A и C.
Подставим известные длины: AC = 4 см + 7 см = 11 см. Единицы измерения одинаковые, поэтому сантиметры можно складывать.
Ответ: AC = 11 см.
Иногда конечный штрих на рисунке принимают за конец прямой. Так происходит потому, что на листе видна только ограниченная часть линии. Проверь себя: у прямой обычно есть стрелки, и её можно продолжить мысленно в обе стороны.
Луч путают с отрезком, ведь оба часто рисуют коротким штрихом. Но штрих — только изображение: у луча есть начало и нет конца, а у отрезка есть два конца. Проверь, от какой точки начинается фигура и где она ограничена; направление луча обычно показывают стрелкой.
Отрезок иногда обозначают одной буквой или называют точками, которые не являются его концами. Ошибка появляется, когда путают названия точек на линии с названием выбранного отрезка. Убедись, что записал две буквы именно тех точек, которыми ограничена нужная часть прямой.
При поиске длины целого отрезка могут сложить или вычесть числа, не проверив расположение точек. Если промежуточная точка лежит между концами, части складывают; вычитание используют, когда известны длина целого и одной его части. Перед вычислением нарисуй схему и проверь, какая точка находится между концами.
Для этой темы пригодятся начальные представления о точках и линиях, понимание направления и умение пользоваться единицами длины. Нужно также знать, как измерять отрезки линейкой и записывать результат в сантиметрах или миллиметрах. Если эти действия пока вызывают трудности, попробуй сначала отметить точки и измерить несколько отрезков на чертеже.
Понятия точки, прямой, отрезка и луча понадобятся при изучении углов, треугольников и координатной прямой. Они помогут выполнять геометрические построения и читать чертежи в задачах. Правило о длине целого отрезка пригодится, когда известны части или весь отрезок и требуется найти недостающую длину.
Почему на рисунке прямая выглядит ограниченной?
На листе нельзя изобразить бесконечную линию целиком, поэтому рисуют только её часть. Стрелки на концах показывают, что прямая продолжается в обе стороны.
Чем луч отличается от отрезка?
У луча есть начальная точка, но нет конца: он продолжается бесконечно в одном направлении. У отрезка есть два конца, поэтому его длину можно измерить.
Можно ли обозначить отрезок одной буквой?
Обычно отрезок обозначают двумя заглавными буквами — названиями его концов, например AB. Одна буква, как правило, обозначает точку, а не отрезок.
Как понять, какие точки являются концами отрезка?
Концы — это две точки, которыми ограничен отрезок. Если на прямой выделена часть от A до B, её концы — A и B; точка внутри этой части концом не является.
Почему длины частей отрезка можно складывать?
Если точка лежит между концами отрезка, она делит его на две части, которые вместе составляют весь отрезок. Поэтому длина целого равна сумме длин частей: если B между A и C, то AC = AB + BC.
1.1. Самые общие воспоминания
