§ 1. Какие геометрические фигуры бывают

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек на плоскости или в пространстве. Она может состоять из одной точки, как отдельная отметка, или из множества точек, например из всех точек прямой. Это понятие позволяет описывать геометрические объекты и изучать их части.

Точка — простейшая геометрическая фигура, у которой нет измерений: длины, ширины и высоты. На чертеже её обычно показывают маленькой отметкой, но сама отметка не является точкой и лишь помогает её увидеть. Точку обозначают заглавной латинской буквой, например A или B, чтобы отличать её от других точек.

Прямая — линия, которая продолжается бесконечно в обе стороны и не имеет концов. На рисунке её изображают лишь частью, потому что целиком провести бесконечную линию невозможно. Прямую обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек на ней: прямая AB.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают по ним: AB. Такое обозначение помогает понять, где отрезок начинается и заканчивается, и отличить его от прямой, проходящей через те же точки.

Как это устроено

Геометрические фигуры рассматривают как множества точек, поэтому сложный объект можно изучать через его части. Например, у многоугольника можно отдельно рассмотреть стороны и вершины, а затем понять, как они соединены. Такой разбор облегчает описание фигуры: вместо одного сложного целого мы исследуем несколько простых элементов. И наоборот, из простых фигур можно составить более сложную.

Точка и прямая служат исходными фигурами, на которых строят многие другие понятия. Если заданы две различные точки, через них можно провести прямую, причём только одну: если бы прямых было несколько, они проходили бы через одни и те же точки и совпали бы. Поэтому две точки помогают точно задать прямую. На чертеже достаточно показать её частью, но мысленно нужно продолжить линию в обе стороны.

Чтобы получить отрезок, на прямой выбирают две точки и рассматривают часть линии между ними вместе с концами. За пределами этих точек отрезок не продолжается, поэтому его длину можно измерить. У прямой, напротив, нет начала и конца, и её длину нельзя измерить как длину отрезка. Так различают два похожих на рисунке объекта: ограниченный и неограниченный.

Фигуры различаются тем, как устроены их точки и линии. Отдельная точка не содержит других видимых частей, а отрезок состоит из точек прямой между своими концами. Ломаная образована несколькими отрезками, соединёнными последовательно, а многоугольник ограничивает часть плоскости замкнутой ломаной. Поэтому полезно выяснять не только, как фигура выглядит, но и из каких элементов она состоит.

Буквенные обозначения помогают говорить о фигурах точно, но нужно понимать, к чему относится каждая буква. Заглавные буквы обычно называют точки, а строчная буква может обозначать прямую; несколько букв вместе могут задавать фигуру, например отрезок AB. По обозначению можно увидеть, какие точки задают объект, но само обозначение не заменяет его определение. Сначала выясняют, что именно изображено, а затем правильно называют фигуру.

Основные геометрические фигуры и их признаки

Сначала найдите в строке, как устроена фигура, а затем сравните её отличие с другими объектами. Если на рисунке есть буквенные обозначения, проверьте, называют ли они точку, прямую или фигуру из нескольких частей. Таблица помогает не путать похожие изображения и выбирать точное название.

Разбор задач

Задача 1

Условие. На чертеже отмечены точки A и B. Назовите прямую, проходящую через них, и отрезок с концами A и B. Сначала нужно понять, что точки могут задавать объекты разного вида, а затем правильно назвать каждый из них.

1. Через две различные точки A и B проходит единственная прямая. Её можно обозначить как прямую AB или строчной буквой, если она дана на чертеже.
2. Отрезок с теми же концами обозначают AB. В отличие от прямой, он включает только часть линии между A и B.

Ответ. Прямая AB; отрезок AB с концами A и B. Одни и те же точки задают прямую и отрезок, но объекты отличаются тем, что прямая бесконечна, а отрезок ограничен концами.

Задача 2

Условие. Изображена ломаная ABCD. Назовите её звенья и вершины. Буквы в названии перечислены в порядке расположения точек, поэтому по ним можно восстановить, какие соседние точки соединены.

1. Выпишите пары соседних букв: A и B, B и C, C и D. Каждая пара указывает на один отрезок ломаной.
2. Назовите соответствующие звенья: AB, BC и CD. Точки, через которые проходит ломаная, — A, B, C и D; это её вершины.

Ответ. Звенья ломаной — AB, BC и CD, вершины — A, B, C и D. Точки B и C соединяют соседние звенья, а A и D находятся на концах ломаной. Такой способ подходит для ломаной с любым числом звеньев: каждую пару соседних букв проверяют по порядку.

Задача 3

Условие. Дан четырёхугольник ABCD. Назовите его стороны и вершины, а затем объясните, из каких более простых фигур он состоит. Чтобы не пропустить сторону, нужно двигаться по границе фигуры по порядку и вернуться к начальной точке.

1. Запишите пары соседних вершин: A и B, B и C, C и D, D и A. Эти пары задают стороны четырёхугольника.
2. Назовите стороны: AB, BC, CD и DA. Вершинами являются точки A, B, C и D, в которых встречаются соседние стороны.
3. Рассмотрите фигуру как составленную из отрезков-сторон и точек-вершин. Её граница замкнута, потому что последняя сторона DA возвращается к точке A.

Ответ. Стороны — AB, BC, CD и DA; вершины — A, B, C и D. Четырёхугольник можно разобрать на четыре отрезка и четыре точки, соединённые в замкнутую границу. Так части фигуры помогают понять её устройство целиком.

Типичные ошибки

• Принимать отметку за размер точки. Точку на чертеже рисуют заметной, поэтому может показаться, что у неё есть ширина. На самом деле толщина отметки нужна только для удобства изображения. Проверь себя: помни, что отметка условна, а геометрическая точка не имеет измерений.

• Называть прямую отрезком или отрезок прямой. На небольшом чертеже оба объекта выглядят как линия, поэтому их легко перепутать. Проверь себя вопросом: есть ли у объекта два конца? Если есть — это отрезок, если линия продолжается бесконечно в обе стороны — прямая.

• Считать рисунок точным доказательством свойств. Чертёж может быть нарисован неаккуратно или не в масштабе, поэтому угол, длина или положение на нём могут только казаться определёнными. Проверь себя: опирайся на данное условие и определения, а измерения используй только тогда, когда это требуется.

• Путать название фигуры с названием точки. Буква A обозначает точку, а AB может обозначать отрезок с концами A и B. Путаница возникает, когда не смотрят на число букв и вид объекта. Проверь себя: уточни, о какой фигуре говорится, и только после этого прочитай её обозначение.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужно различать буквы и точки на чертеже, уметь пользоваться линейкой и понимать, что длину измеряют у отрезка. Эти умения помогают точно читать обозначения и выполнять простые построения. Понятия точки, прямой и отрезка понадобятся при изучении углов и многоугольников. Они также нужны, когда измеряют длину, строят фигуры и рассматривают их части.

Что запомнить

• Геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек.
• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Прямая продолжается бесконечно в обе стороны.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Сложную фигуру можно рассматривать как состоящую из более простых фигур.