"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Расстояние помогает определить, насколько далеко находятся друг от друга точки, точка и прямая или две параллельные прямые. Его находят по длине специального отрезка: прямого отрезка между точками или перпендикуляра. Умение строить и измерять такие отрезки нужно для решения геометрических задач, работы с координатами и построения фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Например, расстояние между A и B обозначают длиной отрезка AB. Оно показывает, насколько одна точка удалена от другой, поэтому для измерения берут именно прямой отрезок между ними.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Перпендикуляр пересекает прямую под прямым углом, а точку пересечения называют основанием перпендикуляра. Это определение нужно, чтобы однозначно находить самое короткое расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми — длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр пересекает обе прямые под прямыми углами. Так можно измерить промежуток между прямыми, даже если они продолжаются сколько угодно далеко.
Две точки можно соединить множеством ломаных линий, но прямой отрезок между ними не делает лишних поворотов. Поэтому он короче любой ломаной, соединяющей те же точки. Чтобы найти его длину, на клетчатой бумаге считают клетки, если отрезок идёт по линиям сетки, а затем умножают их число на длину стороны клетки; в остальных случаях пользуются линейкой.
Чтобы построить расстояние от точки A до прямой l, через A проводят прямую, перпендикулярную l. Отмечают точку H, в которой этот перпендикуляр пересекает l, и получают отрезок AH. После проверки прямого угла измеряют AH линейкой, потому что именно этот отрезок задаёт расстояние.
Любой наклонный отрезок от точки до прямой можно представить как сторону прямоугольного треугольника, а перпендикуляр — как его высоту. В прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета. Значит, перпендикуляр от точки к прямой короче любого наклонного отрезка и задаёт кратчайшее расстояние.
Для расстояния между параллельными прямыми проводят отрезок, который пересекает обе прямые под прямыми углами. Такой отрезок называют общим перпендикуляром этих прямых. Его длину измеряют линейкой, и полученное число является расстоянием между прямыми.
Если общий перпендикуляр перенести в другое место, его концы всё равно лежат на тех же параллельных прямых. Вместе с двумя отрезками параллельных прямых он образует прямоугольник. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому все общие перпендикуляры одной пары параллельных прямых имеют одинаковую длину.
| Что измеряем | Какой отрезок задаёт расстояние | Как построить или найти |
|---|---|---|
| Между двумя точками | Прямой отрезок, соединяющий точки | Соединить точки и измерить отрезок линейкой или по клеткам |
| От точки до прямой | Перпендикуляр от точки до прямой | Провести перпендикуляр, отметить основание и измерить его |
| Между параллельными прямыми | Общий перпендикуляр прямых | Провести перпендикуляр между прямыми и измерить его длину |
Сначала определите, какие объекты даны в задаче, а затем выберите соответствующий отрезок. Если встречается точка и прямая, ищите перпендикуляр, а для параллельных прямых — общий перпендикуляр. После построения измерьте именно этот отрезок, а не любой видимый промежуток.
На клетчатой бумаге точки A и B находятся на одной горизонтали на расстоянии 6 клеток. Сторона клетки равна 5 мм. Нужно найти расстояние между точками. Поскольку точки лежат на одной горизонтали, отрезок AB проходит по линиям сетки.
Ответ: расстояние между точками равно 30 мм, или 3 см. Здесь использовано правило: длина отрезка по клеткам равна числу клеток, умноженному на длину стороны клетки. Единицы измерения в ответе должны совпадать с единицами из условия или быть переведены понятно.
Точка A не лежит на прямой l, а основание перпендикуляра находится на расстоянии 4 см от A. Нужно построить и измерить расстояние от A до l. Данные 4 см уже называют длину перпендикуляра, поэтому дополнительное вычисление не требуется.
Ответ: расстояние от точки A до прямой l равно 4 см. Отрезок AH подходит, потому что он перпендикулярен l. Наклонный отрезок от A до другой точки прямой для ответа брать нельзя.
Две параллельные прямые находятся на расстоянии 3 см. Требуется провести два разных общих перпендикуляра и сравнить их длины. Расстояние уже дано, поэтому каждый такой перпендикуляр должен иметь именно эту длину.
Ответ: длина каждого перпендикуляра равна 3 см. Отрезки могут находиться в разных местах, но их длины совпадают. Это подтверждает свойство параллельных прямых: расстояние между ними постоянно.
Наклонный отрезок от точки до прямой ошибочно принимают за расстояние. Так делают, потому что он тоже соединяет точку с прямой, но он длиннее перпендикуляра. Проверьте, образует ли выбранный отрезок прямой угол с прямой.
Перпендикуляр иногда проводят примерно под прямым углом. Причина ошибки — попытка построить его без угольника или аккуратной проверки. Приложите угольник и убедитесь, что угол равен 90°.
Между параллельными прямыми могут измерить наклонный отрезок. Он соединяет прямые, но не перпендикулярен им и потому длиннее общего перпендикуляра. Проверьте оба угла пересечения: они должны быть прямыми.
Расстояние между точками путают с длиной ломаной. Ломаная может иметь несколько звеньев и поворотов, поэтому обычно она длиннее прямого отрезка. Соедините точки одним прямым отрезком и измерьте именно его.
До изучения расстояний нужно уметь измерять отрезки линейкой и строить перпендикулярные прямые. Эти навыки позволяют не только выполнить построение, но и проверить результат измерением.
Понятие расстояния понадобится при изучении геометрических фигур и координатной плоскости. Оно также используется в задачах на построение, когда нужно найти положение точки или провести линию на заданном удалении.
Почему расстояние от точки до прямой измеряют именно по перпендикуляру?
Перпендикуляр образует с прямой прямой угол и задаёт кратчайший путь от точки до неё. Любой наклонный отрезок до прямой имеет большую длину.
Как построить перпендикуляр из точки, не лежащей на прямой?
Через точку проводят прямую так, чтобы она пересекла данную прямую под прямым углом. Точку пересечения называют основанием перпендикуляра, а его длина и есть искомое расстояние.
Можно ли измерять расстояние между точками по клеткам?
Можно, если отрезок между точками идёт по горизонтали или вертикали клетчатой сетки. Число клеток умножают на длину стороны одной клетки.
Почему расстояние между параллельными прямыми одинаково в разных местах?
Параллельные прямые не сближаются и не удаляются друг от друга. Их общие перпендикуляры образуют одинаковые по длине отрезки.
Как найти расстояние между прямыми, если они не параллельны?
Если две прямые пересекаются, расстояние между ними считают равным нулю: у них есть общая точка. Положительное расстояние между прямыми рассматривают для параллельных прямых.
§ 7. Расстояния
