"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который соединяет их. Оно показывает, насколько далеко точки находятся друг от друга, и помогает решать задачи на координатной прямой, измерять фигуры и сравнивать длины. Расстояние всегда неотрицательно. Чтобы его найти, можно измерить отрезок линейкой или, если известны координаты точек на прямой, вычислить модуль их разности. Результат записывают вместе с единицей длины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который соединяет эти точки. Если точки обозначены A и B, расстояние обычно записывают как AB; по смыслу это длина отрезка AB, а не направление от A к B. Такое обозначение помогает кратко говорить о том, насколько далеко точки находятся друг от друга.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка: если задан отрезок AB, его концы — A и B. Указание концов важно, потому что расстояние между точками определяют именно по отрезку, который их соединяет.
Длина отрезка — величина, показывающая, сколько единиц длины укладывается в отрезке. Например, если в нём укладываются пять сантиметровых единиц, его длина равна 5 см. Это позволяет измерять отрезки и сравнивать их, даже если они изображены в разных местах.
Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Например, на числовой прямой за единичный можно принять отрезок между отметками 0 и 1. Сравнивая другие отрезки с ним, удобно задавать длины и находить расстояния между точками.
Чтобы найти расстояние между точками, сначала соединяют их отрезком, а затем определяют его длину. Это следует из самого определения: расстояние — не отдельная линия или число, выбранное наугад, а мера длины конкретного отрезка. Если отрезок можно измерить линейкой, её шкала показывает, сколько единиц длины приходится на него.
Расстояние не меняется из-за того, что точки на странице расположены иначе. Отрезок может идти вверх, вниз или наклонно, но его длина остаётся мерой промежутка между концами, а не направления. Поэтому два одинаковых по длине отрезка задают одинаковые расстояния, даже если один нарисован горизонтально, а другой наклонно.
На числовой прямой положение точки задаёт её координата. Если координаты двух точек равны a и b, число промежутков между ними находят вычитанием; порядок вычитания может дать плюс или минус, поэтому берут модуль: |a − b|. Например, разность координат точек с координатами 2 и 7 может быть 2 − 7 = −5, но расстояние равно 5, потому что длина не бывает отрицательной.
На клетчатой бумаге для горизонтального и вертикального отрезков удобно считать промежутки сетки: каждый промежуток имеет длину одной клетки. Считают именно промежутки между отметками, а не сами линии или точки на концах. Для наклонного отрезка подсчёт клеток вдоль направления обычно не даёт его длину, поэтому отрезок измеряют линейкой.
Расстояние записывают в единицах длины: например, в миллиметрах, сантиметрах или метрах. Единица нужна, чтобы было понятно, какой именно размер имеет числовой результат. Если сравнивают или складывают длины в разных единицах, их сначала переводят к одной единице, иначе числа нельзя корректно сопоставить.
Выбери строку, которая подходит к расположению точек, и воспользуйся указанным способом. Колонка с замечаниями помогает проверить, что именно нужно считать или измерять. Если данные позволяют применить несколько способов, можно проверить ответ одним из них.
| Расположение точек | Способ определения | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Точки соединены изображённым отрезком | Измерить отрезок линейкой или использовать его заданную длину. | Совместить нулевую отметку линейки с концом отрезка и записать единицу. |
| Точки расположены на числовой прямой | Вычислить модуль разности координат: |a − b|. | Учесть знак отрицательной координаты; ответ не может быть отрицательным. |
| Точки находятся на клетчатой бумаге | Для горизонтального или вертикального отрезка посчитать промежутки клеток; наклонный измерить линейкой. | Считать промежутки между отметками, а не включать обе конечные точки. |
| Точки изображены на чертеже без координат | Провести или представить соединяющий точки отрезок и измерить его линейкой. | Не определять длину только по виду рисунка: изображение может быть не выполнено в точном масштабе. |
Точки A и B соединены отрезком длиной 5 см. Чему равно расстояние между ними? Здесь длина уже дана, поэтому отдельно измерять отрезок не нужно. По определению расстояние между концами равно длине соединяющего их отрезка.
Обозначим расстояние между точками A и B как AB. Так легче увидеть, какой именно отрезок рассматривается.
Используем данное условие: длина отрезка AB равна 5 см. Следовательно, столько же составляет расстояние между его концами.
Ответ: 5 см.
На числовой прямой точка A имеет координату 2, а точка B — координату 7. Найдём расстояние между ними. На прямой оно равно числу единичных промежутков от одной точки до другой, поэтому сравним координаты и вычтем меньшую из большей.
Запишем координаты: A — 2, B — 7. Координата B больше, значит точка B расположена правее точки A.
Вычислим разность 7 − 2 = 5. Если вычесть в обратном порядке, получится −5; модуль этой разности всё равно равен 5.
Ответ: 5 единичных отрезков.
На числовой прямой точки C и D имеют координаты −4 и 3. Найдём расстояние между ними. Отрицательная координата означает, что точка лежит слева от нуля, поэтому при вычислении нельзя терять знак минус. Формула с модулем позволяет учесть расположение обеих точек.
Подставим координаты в правило: расстояние равно |−4 − 3|. Внутри модуля сначала выполняем вычитание.
Получаем −4 − 3 = −7, затем берём модуль: |−7| = 7. Проверка по прямой даёт тот же результат: от −4 до 0 — 4 промежутка, от 0 до 3 — ещё 3.
Ответ: 7 единичных отрезков.
Принимают координату одной точки за расстояние. Координата показывает положение одной точки относительно нуля, а расстояние зависит от положения обеих точек. Ошибку допускают, когда сразу записывают координату, не сравнив её со второй. Проверь себя: в вычислении должны участвовать обе координаты.
Получают отрицательный ответ после вычитания. Так бывает, если вычесть координаты в произвольном порядке и забыть взять модуль. Знак показывает порядок разности, но не длину промежутка. Проверь ответ: расстояние не может быть меньше нуля.
Неправильно считают единичные отрезки на прямой. Иногда считают отметки, включая обе конечные, хотя длину задаёт число промежутков между отметками. Это происходит из-за смешения точек и отрезков. Проверь себя, пересчитав именно промежутки от одной точки до другой.
Не указывают единицу измерения или смешивают единицы. Число без единицы не сообщает, измерено расстояние в сантиметрах или метрах; при смешении единиц сравнение тоже будет неверным. Проверь запись ответа и приведи длины к одной единице, если это требуется.
Чтобы работать с расстоянием, нужно распознавать точки и отрезки, пользоваться линейкой и знать единицы длины. Числовая прямая связывает геометрию с координатами: координаты помогают вычислить расстояние по формуле |a − b|. Это умение пригодится при изучении координатной плоскости, геометрических фигур и задач, в которых нужно находить или сравнивать длины.
Что называют расстоянием между двумя точками?
Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка, который соединяет эти точки. Например, расстояние между A и B обозначают AB и измеряют в единицах длины.
Почему расстояние между точками не может быть отрицательным?
Расстояние показывает длину, то есть число единиц, укладывающихся в отрезке. Число таких единиц не бывает отрицательным, поэтому расстояние либо положительно, либо равно нулю, если точки совпали.
Как найти расстояние между точками на числовой прямой?
Нужно вычесть координаты точек и взять модуль разности. Для координат a и b расстояние равно |a − b|; модуль помогает получить неотрицательный результат.
Нужно ли указывать единицу измерения в ответе?
Да, если расстояние измеряли или оно дано в конкретных единицах, единицу нужно указать. Например, правильный ответ — 5 см, а не просто 5.
Как измерить расстояние между точками, если они расположены на клетчатой бумаге?
Если соединяющий отрезок горизонтальный или вертикальный, можно посчитать промежутки между соседними линиями сетки и учесть размер клетки. Для наклонного отрезка одного подсчёта клеток обычно недостаточно, поэтому его измеряют линейкой.
7.1. Расстояние между двумя точками
