7.2. Расстояние от точки до фигуры

Определения и обозначения

Расстояние от точки до фигуры — наименьшее из расстояний от данной точки до точек этой фигуры. Иначе говоря, это длина кратчайшего отрезка, соединяющего точку с фигурой. Такое определение помогает выбрать среди многих возможных отрезков именно тот, который показывает, насколько близко расположена фигура.

Ближайшая к точке точка фигуры — точка фигуры, до которой расстояние от данной точки наименьшее. Отрезок от исходной точки до ближайшей точки и задаёт расстояние до фигуры. Поэтому при поиске расстояния сначала нужно понять, какая точка фигуры ближе остальных.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Перпендикуляр — это отрезок, который пересекает прямую под прямым углом, а точка пересечения называется его основанием. Основание обязательно лежит на прямой, поэтому по нему можно точно определить нужную длину.

Расстояние от точки до отрезка — длина кратчайшего отрезка от данной точки до любой точки отрезка. Ближайшая точка может быть не основанием перпендикуляра, а концом отрезка. Это особенно важно, когда перпендикуляр к прямой, содержащей отрезок, падает за его пределами.

Как это устроено

От одной точки можно провести отрезки ко многим точкам фигуры, и их длины будут разными. Если выбрать произвольный длинный отрезок, он покажет лишь расстояние до одной выбранной точки, но не близость фигуры в целом. Поэтому расстоянием считают наименьшую длину: именно она соответствует самому короткому пути к фигуре. Точка фигуры, до которой этот путь проходит, называется ближайшей.

У прямой есть особенность: среди всех отрезков, проведённых из точки к прямой, самым коротким оказывается перпендикуляр. Это связано со свойством перпендикуляра: перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к прямой. Поэтому расстояние до прямой не зависит от выбора наклонного направления — нужно найти основание перпендикуляра и измерить его длину. Например, если отрезок AH перпендикулярен прямой l, то расстояние от A до l равно AH.

Чтобы найти расстояние до отрезка, сначала проводят перпендикуляр к прямой, на которой лежит этот отрезок. Затем проверяют, где оказалось основание: между концами отрезка, на его конце или за его пределами. Если основание принадлежит отрезку, кратчайший путь заканчивается именно там, и расстояние равно перпендикуляру. Если основание оказалось за отрезком, оно не может быть ближайшей точкой самого отрезка.

Когда основание перпендикуляра не принадлежит отрезку, ближайшей точкой будет один из его концов. Нужно найти или сравнить расстояния от исходной точки до обоих концов и выбрать меньшее. Это правило позволяет не ошибиться: перпендикуляр к прямой может быть самым коротким путём к прямой, но не к её отдельной части — отрезку. В таком случае до доступной части фигуры путь ведёт к её краю.

Если исходная точка принадлежит фигуре, она сама является ближайшей точкой этой фигуры. Отрезок от точки до неё имеет нулевую длину, а никакое расстояние не может быть меньше нуля. На чертеже исходную точку обозначают, фигуру проводят отдельно, а ближайшую точку отмечают на ней. Кратчайший отрезок соединяет эти две точки; для прямой на нём отмечают прямой угол, а его длину подписывают рядом.

Как находить расстояние от точки до разных фигур

Таблица помогает выбрать способ решения: сперва определите фигуру, затем проверьте положение ближайшей точки и только после этого выбирайте нужную длину. Для отрезка особенно внимательно смотрите, попало ли основание перпендикуляра внутрь его границ. Если нет, сравните расстояния до концов.

Разбор задач

Задача 1. Точка A находится вне прямой l. Из A проведён перпендикуляр AH к прямой, AH = 4 см. Найдите расстояние от A до l.

1. Вспомним, что расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
2. Отрезок AH перпендикулярен l, а его основание H лежит на этой прямой. Значит, AH и есть кратчайший путь от A до l.
3. Подставим данную длину: AH = 4 см. Дополнительных вычислений не требуется.

Ответ: 4 см.

Задача 2. Отрезок CD имеет длину 8 см. Перпендикуляр из точки P к прямой CD пересекает отрезок в точке H, причём PH = 3 см. Найдите расстояние от P до отрезка CD.

1. Перпендикуляр проведён к прямой CD, но для расстояния до отрезка надо проверить положение его основания.
2. По условию точка H лежит на отрезке CD, то есть основание перпендикуляра принадлежит самому отрезку.
3. Следовательно, кратчайший отрезок от P до CD — это PH. Его длина уже дана и равна 3 см; длина всего отрезка CD для ответа не нужна.

Ответ: 3 см.

Задача 3. Точка P расположена вне отрезка AB. Из P опущен перпендикуляр к прямой AB, но его основание находится за концом A. Расстояния PA и PB равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от P до отрезка AB.

1. Основание перпендикуляра лежит за концом A, поэтому оно не принадлежит отрезку AB и расстоянием до отрезка служить не может.
2. Ближайшая точка отрезка в этом случае будет одним из концов. Сравним расстояния до них: PA = 5 см, PB = 9 см.
3. Меньшее расстояние ведёт к точке A. Значит, кратчайший отрезок от P до отрезка AB — PA, его длина равна 5 см.

Ответ: 5 см.

Типичные ошибки

Ошибка — считать расстоянием до прямой длину любого отрезка, проведённого к ней. Так можно сделать, если забыть, что наклонный отрезок обычно длиннее перпендикуляра. Проверьте, образует ли отрезок прямой угол с прямой; только перпендикуляр даёт расстояние. На чертеже прямой угол часто обозначают маленьким квадратиком.

Ошибка — всегда брать перпендикуляр к прямой, содержащей отрезок, не проверяя положение его основания. Причина в том, что правило для прямой переносят на отрезок без проверки его границ. Убедитесь, что основание лежит между концами или совпадает с концом. Если оно за отрезком, ищите ближайший конец.

Ошибка — считать основание перпендикуляра за пределами отрезка ближайшей точкой этого отрезка. Такое основание принадлежит прямой, но не самому отрезку. Проверьте, находится ли оно между концами; если нет, сравните расстояния до концов. Выберите меньшее, а не длину перпендикуляра до продолжения.

Ошибка — брать произвольный или самый длинный отрезок до фигуры. Так иногда делают, если не сравнивают возможные пути или принимают любой соединяющий отрезок за расстояние. Помните, что по определению выбирают наименьшую длину. Для проверки выясните, есть ли более короткий путь к другой точке фигуры.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое прямая, отрезок, перпендикуляр и расстояние между двумя точками. Эти понятия позволяют построить нужный отрезок и определить его длину. Понимание расстояния от точки до фигуры пригодится при поиске расстояний между фигурами, изучении высот и решении задач на построение. Например, высота треугольника связана с перпендикуляром, опущенным из вершины на противоположную прямую.

Что запомнить

• Расстояние от точки до фигуры — наименьшее расстояние до её точек.
• Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра.
• Основание перпендикуляра к прямой может не принадлежать отрезку.
• Если перпендикуляр попадает внутрь отрезка, расстояние до отрезка равно его длине.
• Если перпендикуляр не попадает на отрезок, сравнивают расстояния до концов.
• Расстояние от точки до фигуры, которой она принадлежит, равно нулю.