7.3. Расстояние от точки до прямой

Определения и обозначения

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой. Расстоянием называют именно длину, потому что длину можно измерить числом, например в сантиметрах. Сам отрезок показывает, где проходит кратчайший путь, но значение расстояния выражается его длиной.

Перпендикуляр к прямой — отрезок, который соединяет точку с прямой и образует с ней прямой угол. Прямой угол равен 90°, а на чертеже его отмечают маленьким квадратиком. Такая отметка помогает отличить перпендикуляр от других отрезков, даже если рисунок выполнен не совсем точно.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую. Она обязательно находится на этой прямой, а не рядом с ней. На чертеже основание обозначают буквой, а прямой угол отмечают квадратиком именно около точки пересечения.

Наклонная к прямой — отрезок от точки, не лежащей на прямой, до любой другой точки этой прямой, если отрезок не является перпендикуляром. Наклонная подходит к прямой под углом, отличным от прямого. Её полезно сравнивать с перпендикуляром, чтобы увидеть, почему расстояние задаёт только самый короткий отрезок.

Как это устроено

Чтобы построить перпендикуляр из точки к прямой, приложи одну сторону чертёжного угольника к прямой. Передвигай угольник, пока другая его сторона не пройдёт через заданную точку, и проведи по ней отрезок до прямой. В месте пересечения поставь точку — это основание; рядом отметь прямой угол квадратиком. Угольник помогает точно получить угол 90°, который на глаз построить трудно.

Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же прямой. Это следует из прямоугольного треугольника: перпендикуляр является одним катетом, наклонная — гипотенузой, а гипотенуза длиннее каждого катета. Поэтому при одинаковых начальной точке и прямой наклонная не может оказаться короче перпендикуляра.

Из одной точки к разным местам прямой можно провести много отрезков, и их длины будут различаться. Если выбрать произвольный отрезок, ответ зависел бы от того, до какой точки на прямой его провели. Перпендикуляр же всегда задаёт кратчайший путь, поэтому его длина позволяет точно и одинаково для всех определить расстояние от точки до прямой.

Чтобы найти расстояние на чертеже, сначала проведи из данной точки перпендикуляр к прямой. Затем определи основание — место, где отрезок встретился с прямой, — и проверь по значку, что угол действительно прямой. После этого измерь перпендикуляр линейкой от исходной точки до основания. Полученное число с единицами измерения и будет расстоянием.

Если исходная точка лежит на прямой, она уже принадлежит этой прямой, и путь до неё не требуется. В этом случае говорят, что перпендикуляр вырождается в точку: его длина равна нулю. Значит, расстояние от точки до прямой, на которой она находится, тоже равно нулю.

Отрезки от точки до прямой

Сравнивай отрезки по двум признакам: как они расположены к прямой и какую роль выполняют. В таблице перпендикуляр, наклонная и расстояние связаны, но это не одно и то же понятие: расстояние — численная длина перпендикуляра.

Сначала проверь, есть ли у отрезка прямой угол с прямой: так можно отличить перпендикуляр от наклонной. Затем помни, что расстоянием называют не любой отрезок, а длину перпендикуляра. Таблица помогает быстро выбрать нужный отрезок в задаче.

Разбор задач

Задача 1. Из точки A к прямой проведён перпендикуляр AB длиной 4 см. Найдите расстояние от A до прямой.

1. Определим, какой отрезок соединяет точку A с прямой: это AB.
2. По условию AB — перпендикуляр, поэтому его длина и есть расстояние от A до прямой.
3. Подставим данное значение: длина AB равна 4 см.

Ответ: 4 см. Здесь важно не искать другой отрезок: в условии уже дан перпендикуляр, который определяет расстояние.

Задача 2. Из точки A к прямой проведены перпендикуляр длиной 5 см и наклонная длиной 7 см. Какой отрезок задаёт расстояние от A до прямой?

1. Сравним названия отрезков: один образует с прямой прямой угол, а второй является наклонной.
2. Расстоянием считается длина перпендикуляра, а не длина любого пути к прямой.
3. Значит, нужный отрезок имеет длину 5 см; наклонная длиной 7 см не задаёт расстояние.

Ответ: перпендикуляр длиной 5 см. Наклонная длиннее, поскольку из той же точки к той же прямой она не может быть короче перпендикуляра.

Задача 3. Точка A находится на расстоянии 3 см от прямой. На прямой отмечены точки B и C, причём AB — перпендикуляр, а AC — наклонная. Сравните AB и AC и объясните ответ.

1. По определению расстояние от A до прямой равно длине перпендикуляра AB.
2. Так как расстояние равно 3 см, получаем AB = 3 см.
3. AC — наклонная из той же точки к той же прямой, поэтому она длиннее перпендикуляра: AC > AB.

Ответ: AB = 3 см, а AC > 3 см; следовательно, AB < AC. Мы сравнили отрезки не по виду рисунка, а по их расположению относительно прямой.

Типичные ошибки

Ошибка — считать расстоянием любой отрезок от точки до прямой. Так поступают, потому что все такие отрезки соединяют одну и ту же точку с прямой, но длины у них могут различаться. Проверь себя: расстоянием будет только отрезок, образующий с прямой угол 90°.

Ошибка — принимать наклонную за перпендикуляр, не проверив угол. На схеме отрезок может казаться почти прямым, особенно если рисунок выполнен от руки. Ищи квадратик прямого угла или проверь построение угольником, а не полагайся только на внешний вид.

Ошибка — называть основанием перпендикуляра исходную точку вне прямой. Возможно, путают начало отрезка с местом его встречи с прямой. Проверь положение точки: основание всегда лежит на прямой и обозначает конец перпендикуляра у неё.

Ошибка — выбирать произвольный отрезок, если точка лежит на прямой. Тогда расстояние уже равно нулю, ведь точка не отстоит от прямой. Проверь, принадлежит ли исходная точка прямой: если да, не нужно измерять случайный отрезок.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться с расстоянием, нужно знать, что такое прямая и отрезок, уметь распознавать прямой угол и понимать, какие прямые называют перпендикулярными. Эти знания помогают правильно построить нужный отрезок и отметить его основание. Понятие расстояния от точки до прямой пригодится при нахождении расстояния между параллельными прямыми: его можно измерить перпендикуляром. Оно также используется в задачах на площадь и при геометрических построениях.

Что запомнить

• Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра.
• Перпендикуляр соединяет точку с прямой под прямым углом.
• Основание перпендикуляра лежит на прямой.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки.
• Если точка лежит на прямой, расстояние до неё равно нулю.