"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, проведённого из точки к плоскости. Перпендикуляр пересекает плоскость под прямым углом, а точка пересечения называется его основанием. Любой другой отрезок от точки до плоскости будет наклонной и окажется длиннее перпендикуляра. Эти понятия помогают находить расстояния и высоты в кубе, призме и других пространственных фигурах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к плоскости — отрезок или прямая, пересекающие плоскость под прямым углом. Если точка M находится вне плоскости α, перпендикуляр можно обозначить MH ⟂ α. Это показывает, что отрезок MH задаёт кратчайшее направление к плоскости.
Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. В записи MH ⟂ α точка H лежит в плоскости α, поэтому H называют основанием. По этой точке удобно понимать, куда именно опущен перпендикуляр.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, проведённого из точки к плоскости. Для точки M и плоскости α оно равно MH, если H — основание перпендикуляра. Такое определение позволяет однозначно измерять расстояние, а не выбирать случайный отрезок.
Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром. Например, MA — наклонная из M, если A лежит в α, но MA не перпендикулярна α. Наклонная нужна, чтобы сравнить её длину с расстоянием до плоскости.
Пусть точка M не лежит в плоскости α. Из неё проводят отрезок к плоскости так, чтобы он образовал прямой угол с любой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Конец отрезка на плоскости обозначают буквой H, а сам отрезок записывают MH. Точка H и есть основание перпендикуляра.
Расстоянием считают именно MH, потому что прямой угол даёт кратчайший путь от точки к плоскости. Если взять другой конец A на плоскости, отрезок MA пойдёт под наклоном и не будет самым коротким. Поэтому длина любого такого отрезка не может служить определением расстояния без дополнительного условия.
Пусть MA — наклонная, а H — основание перпендикуляра MH. Отрезок HA лежит в плоскости и соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной, поэтому его называют проекцией наклонной MA на плоскость. Треугольник MHA прямоугольный, потому что угол MHA равен 90°.
В прямоугольном треугольнике MHA отрезок MA является гипотенузой, а MH и HA — катетами. По теореме Пифагора MA² = MH² + HA², значит, MA² больше MH². Следовательно, MA больше MH: перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к этой плоскости.
Если точка уже лежит в плоскости, отдельный перпендикуляр из неё наружу проводить не нужно. Она совпадает с плоскостью в этой точке, поэтому кратчайший отрезок имеет нулевую длину. Значит, расстояние от точки, лежащей в плоскости, до этой плоскости равно 0.
| Объект или ситуация | Что означает | Как обозначается или находится |
|---|---|---|
| Перпендикуляр к плоскости | Отрезок, пересекающий плоскость под прямым углом | MH ⟂ α |
| Основание перпендикуляра | Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью | H ∈ α |
| Расстояние от точки до плоскости | Длина перпендикуляра от точки до плоскости | d(M, α) = MH |
| Наклонная к плоскости | Отрезок к плоскости, не являющийся перпендикуляром | MA, где MA не ⟂ α |
| Проекция наклонной | Отрезок в плоскости от основания перпендикуляра до конца наклонной | HA для наклонной MA |
| Точка лежит в плоскости | Расстояние до плоскости равно нулю | d(M, α) = 0 |
Сначала найдите точку вне плоскости и проверьте, какой отрезок пересекает плоскость под прямым углом. Затем определите его основание и длину. Если дан треугольник с наклонной и её проекцией, используйте теорему Пифагора.
Задача 1. Из точки M к плоскости α проведён перпендикуляр MH длиной 7 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости α. В условии уже назван отрезок, который соответствует определению расстояния.
Ответ: 7 см.
Задача 2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 см. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCC₁B₁. Грань BCC₁B₁ содержит ребро BB₁ и BC, а ребро AB выходит из точки A к этой грани под прямым углом.
Ответ: 6 см.
Задача 3. Из точки M к плоскости α проведены перпендикуляр MH и наклонная MA. Известно, что MA = 13 см, HA = 5 см. Требуется найти расстояние MH. Отрезки MH и HA — катеты прямоугольного треугольника MHA, а MA — его гипотенуза.
Ответ: 12 см.
Ошибка 1. За расстояние принимают длину любой наклонной. Так происходит, если забывают об обязательном прямом угле. Проверьте, есть ли у выбранного отрезка обозначение перпендикулярности к плоскости.
Ошибка 2. Основанием называют точку, из которой проведён перпендикуляр. Её путают с началом отрезка, хотя основание находится на плоскости. Проверьте: основание — именно точка пересечения перпендикуляра с плоскостью.
Ошибка 3. Перпендикулярность к одной прямой принимают за перпендикулярность к плоскости. Отрезок может быть перпендикулярен одной прямой, но не всей плоскости. Для проверки нужно убедиться, что он перпендикулярен прямым плоскости, проходящим через основание.
Ошибка 4. В вычислениях используют наклонную вместо её проекции или неверно выбирают гипотенузу. В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла, поэтому здесь MA² = MH² + HA². Перед вычислением отметьте прямой угол и только потом применяйте теорему Пифагора.
Для этой темы нужны знания о прямом угле, перпендикулярности прямых и длине отрезка. При нахождении неизвестной стороны в треугольнике используется теорема Пифагора. Эти правила связывают плоские измерения с пространственными фигурами.
Расстояние до плоскости помогает находить высоты и расстояния в кубе, прямоугольном параллелепипеде, призме и других многогранниках. Ребро, перпендикулярное грани, часто сразу задаёт нужное расстояние. Поэтому полезно рассматривать не только длины, но и взаимное положение рёбер и граней.
Понятия наклонной и её проекции понадобятся при дальнейшем изучении перпендикулярности прямых и плоскостей. С их помощью сравнивают отрезки и составляют прямоугольные треугольники в пространстве. Это подготовка к более сложным задачам на геометрические расстояния.
Почему расстояние до плоскости измеряют именно по перпендикуляру?
Перпендикуляр образует с плоскостью прямой угол и имеет наименьшую длину среди отрезков от данной точки до плоскости. Поэтому именно его длина показывает кратчайшее расстояние.
Как найти основание перпендикуляра на рисунке?
Найдите точку, в которой перпендикуляр пересекает плоскость. Обычно прямой угол обозначен маленьким квадратиком, а основание подписано отдельной буквой.
Чем наклонная отличается от перпендикуляра?
Оба отрезка соединяют точку вне плоскости с точкой на плоскости. Перпендикуляр пересекает плоскость под прямым углом, а наклонная такого угла не образует.
Как понять, что ребро многогранника является расстоянием до грани?
Проверьте, выходит ли ребро из данной вершины и перпендикулярно ли оно плоскости грани. Если да, это ребро является перпендикуляром, а его длина — расстоянием до грани.
Можно ли найти расстояние до плоскости по длине наклонной?
По одной только длине наклонной найти расстояние обычно нельзя. Если известна её проекция, можно использовать прямоугольный треугольник и теорему Пифагора.
7.4. Расстояние от точки до плоскости
