7.5. Высоты геометрических фигур

Определения и обозначения

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к противоположной стороне или её продолжению. Например, запись AH ⟂ BC означает, что отрезок AH перпендикулярен стороне BC, а AH — высота треугольника ABC. Такое обозначение помогает сразу увидеть, от какой вершины проведена высота и к какой стороне она относится.

Высота параллелограмма — перпендикулярный отрезок между прямыми, на которых лежат его противоположные стороны. Если основанием выбрать одну пару сторон, высота будет расстоянием между прямыми этой пары. При выборе другой пары получится другая высота, поэтому в задаче нужно указывать, к какому основанию она проведена.

Высота трапеции — перпендикулярный отрезок между её основаниями, то есть параллельными сторонами. Боковая сторона соединяет основания, но обычно наклонена к ним, поэтому она не является высотой. Высоту используют, чтобы измерить расстояние между основаниями и вычислить площадь трапеции.

Основание фигуры — сторона, относительно которой проводят высоту или записывают формулу площади. У треугольника основанием может стать любая сторона, а у параллелограмма и трапеции обычно выбирают одну из параллельных сторон. Смена основания может изменить соответствующую высоту, поэтому основание и высоту рассматривают вместе.

Как это устроено

Высота строится перпендикулярно основанию, потому что именно перпендикулярный отрезок задаёт кратчайшее расстояние от точки до прямой. Наклонный отрезок от вершины до основания всегда длиннее такого расстояния и потому не показывает высоту. Например, если опустить из вершины перпендикуляр к прямой основания, его длина и будет высотой. Это позволяет измерять фигуру одинаковым способом, даже если её стороны наклонены.

В треугольнике можно провести три высоты, потому что у него три вершины и для каждой есть противоположная сторона. Из каждой вершины проводят перпендикуляр к прямой, содержащей противоположную сторону. В остроугольном треугольнике перпендикуляры попадают на сами стороны. В тупоугольном треугольнике два перпендикуляра достигают продолжений сторон, поэтому основания этих высот оказываются за пределами треугольника.

У параллелограмма высота определяется выбранной парой параллельных сторон. Расстояние между прямыми одной пары измеряется перпендикуляром именно к ним, а расстояние между прямыми другой пары — перпендикуляром в другом направлении. Эти расстояния обычно не равны: сторона параллелограмма может быть наклонной, а его форма не обязана быть прямоугольной. Поэтому к разным основаниям относятся разные высоты.

В трапеции основания параллельны, а высота перпендикулярна обоим сразу. Если провести из разных точек одного основания перпендикуляры до другого, их длины будут одинаковыми: расстояние между двумя параллельными прямыми везде одно и то же. Именно поэтому в трапеции говорят об одной высоте, а не о разных высотах для разных точек. Боковая сторона может быть длиннее, поскольку она проходит наклонно.

Высота входит в формулы площади, потому что помогает определить, сколько места фигура занимает между основанием и параллельной ему прямой. Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту: S = ½ · a · h. Для параллелограмма площадь равна произведению основания на высоту: S = a · h. Если основание изменить, в формуле нужно использовать высоту, проведённую именно к нему.

Высоты треугольника, параллелограмма и трапеции

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найди нужную фигуру и выбери её основание. Затем проверь, к чему должна быть перпендикулярна высота, и используй соответствующую формулу площади. В трапеции обозначения a и b относятся к двум параллельным основаниям.

Разбор задач

Задача 1. Назвать основание и высоту

В треугольнике ABC отрезок AH перпендикулярен BC. Нужно назвать основание и высоту треугольника. Условие уже сообщает, что AH ⟂ BC, поэтому проверять наклон отрезка на рисунке не требуется. Свяжем обозначения с определением высоты.

1. Находим отрезок, проведённый из вершины треугольника: AH начинается в вершине A.
2. Определяем сторону, к которой он перпендикулярен: это BC.
3. Сопоставляем результат с определением: перпендикуляр из вершины к противоположной стороне является высотой.

Ответ: BC — основание, AH — высота треугольника ABC, проведённая к основанию BC.

Задача 2. Высоты тупоугольного треугольника

Постройте все высоты тупоугольного треугольника и укажите, где находятся основания высот. Начать нужно с определения: каждая высота выходит из вершины и образует прямой угол с прямой, содержащей противоположную сторону. Это важно, потому что не каждый перпендикуляр попадёт на сам отрезок стороны.

1. Из каждой из трёх вершин проведите перпендикуляр к прямой, содержащей противоположную сторону.
2. Если перпендикуляр пересекает саму сторону, его основание высоты лежит на стороне.
3. Если сторона не встречается с перпендикуляром, продлите её до точки пересечения и отметьте основание высоты на продолжении.
4. В тупоугольном треугольнике высота из вершины тупого угла падает на противоположную сторону, а две другие — на продолжения сторон.

Ответ: у треугольника три высоты; в тупоугольном две высоты имеют основания на продолжениях сторон, а одна — на стороне.

Задача 3. Высота параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 48 см², выбранное основание — 8 см. Найдите соответствующую высоту и объясните, почему для другой стороны получится другая высота. В формуле площади основание умножают на высоту, перпендикулярную именно этому основанию. Поэтому сначала считаем высоту к стороне 8 см.

1. Записываем формулу: S = a · h.
2. Выражаем высоту: h = S : a.
3. Подставляем данные: h = 48 : 8 = 6 см.
4. Для другой стороны основание будет иметь другую длину, а высоту нужно измерять перпендикулярно этой стороне. Площадь останется 48 см², поэтому новая высота обычно будет другой.

Ответ: соответствующая высота равна 6 см. Высота к другой стороне определяется отдельно и не обязана равняться 6 см.

Типичные ошибки

Ошибка: называть высотой любой отрезок от вершины до противоположной стороны. Так происходит, если смотреть только на то, какие точки соединены, и забыть про прямой угол. Проверь себя: у места встречи высоты с основанием должен быть знак прямого угла, то есть 90°.

Ошибка: искать все высоты тупоугольного треугольника только внутри него. При построении ученик может остановиться на границе фигуры, хотя перпендикуляр должен быть проведён к прямой, содержащей сторону. Продли нужную сторону и проверь, пересекает ли её перпендикуляр под прямым углом.

Ошибка: считать боковую сторону параллелограмма его высотой. Сторона кажется подходящей, потому что соединяет противоположные стороны, но она может быть наклонной. Чтобы проверить себя, проведи перпендикуляр к основанию: если боковая сторона не совпала с ним, высотой является другой отрезок.

Ошибка: подставлять в формулу площади высоту, проведённую к другому основанию. Это легко сделать, если у фигуры несколько сторон подходят на роль основания. Перед вычислением подпиши пару: основание a и перпендикулярная ему высота h; затем проверь, что именно эта пара стоит в формуле.

Связь с другими темами

Для построения высот понадобятся знания о перпендикулярных и параллельных прямых, а также умение проводить перпендикуляр. Нужно различать стороны фигур и понимать, какие стороны называют основаниями. Эта тема пригодится при вычислении площадей треугольника, параллелограмма и трапеции, а также при поиске неизвестной стороны или высоты. Те же построения помогают точнее изображать геометрические фигуры и разбирать задачи на расстояние между параллельными прямыми.

Что запомнить

• Высота — это перпендикуляр к выбранному основанию.
• У треугольника три высоты.
• Высота треугольника может выходить за пределы фигуры.
• Высота параллелограмма зависит от выбранного основания.
• Высота трапеции перпендикулярна обоим основаниям.
• В формулах площадей используется высота, соответствующая данному основанию.