§ 8. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. На чертеже их линии должны встретиться в одной точке, но важно убедиться, что изображены именно прямые, а не просто пересечение их отрезков. Это понятие помогает описать случай, когда объекты действительно соприкасаются.

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Их обозначают так: a ∥ b, то есть прямая a параллельна прямой b. Условие об одной плоскости отличает параллельные прямые от прямых, которые просто не встретились на рисунке.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Их нельзя совместить с одной плоскостью, даже если на рисунке они выглядят как две непересекающиеся линии. Это название нужно, чтобы описывать особое взаимное положение прямых в пространстве.

Параллельные плоскости — плоскости, не имеющие общих точек. Их обозначают, например, α ∥ β. Такое обозначение позволяет коротко записать, что плоскости не пересекаются и не совпадают.

Как это устроено

На плоскости две прямые, которые не пересекаются, параллельны. В пространстве это правило не работает без дополнительной проверки: прямые могут находиться в разных плоскостях, словно на разных уровнях. Тогда они не встретятся, но и единой плоскости, в которой обе лежат, нет. Именно поэтому появляется третья возможность — скрещивание.

Чтобы различить три вида прямых, проверь два признака: есть ли общая точка и лежат ли прямые в одной плоскости. Если общая точка есть, прямые пересекаются. Если точки нет, но общая плоскость есть, прямые параллельны; если нет ни точки, ни общей плоскости — скрещиваются. Такая проверка не позволяет принять скрещивающиеся прямые за параллельные.

Прямая может целиком лежать в плоскости: тогда каждая её точка принадлежит этой плоскости. Она может пересекать плоскость в одной точке, например входить в неё под наклоном. Наконец, прямая может не иметь с плоскостью общих точек; такое положение называют параллельностью прямой и плоскости. Проверка общих точек объясняет, какой именно случай изображён.

Две плоскости могут совпадать, пересекаться по прямой или не иметь общих точек. Если различные плоскости пересеклись, у них есть как минимум две общие точки; через две точки проходит прямая, и она принадлежит обеим плоскостям. Поэтому общей частью становится прямая, а не одна точка. Если же плоскости совпадают, общими являются все их точки.

По рисунку сначала находят обозначения и выясняют, какие объекты принадлежат каким граням или плоскостям. Затем проверяют общие точки и возможность расположить объекты в одной плоскости. Перспективное изображение куба или другого тела может изменить видимые углы и длины, поэтому параллельность нельзя доказывать тем, что линии «выглядят одинаково наклонёнными». Надёжный вывод опирается на свойства и условия задачи.

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Таблица помогает сравнить объекты по их возможному положению и общим точкам. Сначала выбери строку с нужной парой объектов, затем проверь, какой случай подходит по определению. Если данных рисунка недостаточно, одного внешнего вида для выбора ответа мало.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке две прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку. Определите их взаимное расположение.

1. Сверяем условие с определением: прямые пересекаются, если у них ровно одна общая точка.
2. Обе прямые лежат в одной плоскости, а их общая точка указана в условии.
3. Значит, они пересекаются. Если сказано только об общей точке, но не о количестве, для полного ответа нужно убедиться, что прямые различны.

Ответ: пересекающиеся прямые.

Задача 2. В кубе ABCDEFGH назовите пару параллельных рёбер и пару скрещивающихся рёбер. Считаем, что ABCD и EFGH — противоположные грани, а AE, BF, CG, DH соединяют соответствующие вершины.

1. Для параллельной пары выбираем рёбра AB и EF: они идут в одном направлении на противоположных гранях и лежат в одной плоскости.
2. Для скрещивающейся пары возьмём AB и CG. Они не имеют общей вершины, поэтому не пересекаются.
3. Прямые AB и CG не лежат в одной плоскости: если бы плоскость содержала AB и точку C, она была бы плоскостью ABCD, но G в ней не лежит.

Ответ: AB ∥ EF; прямые AB и CG скрещиваются. Проверка общей плоскости нужна, чтобы не назвать скрещивающиеся рёбра параллельными.

Задача 3. В кубе ABCDEFGH определите, как расположена диагональ AC грани ABCD относительно плоскости противоположной грани EFGH. Обоснуйте ответ.

1. Диагональ AC целиком лежит в плоскости нижней грани ABCD.
2. Плоскости ABCD и EFGH — параллельные грани куба, поэтому общих точек у них нет.
3. Если бы AC имела общую точку с плоскостью EFGH, эта точка принадлежала бы также плоскости ABCD, что невозможно для двух параллельных плоскостей.

Ответ: прямая AC не имеет общих точек с плоскостью EFGH, значит, она параллельна этой плоскости.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так легко подумать, потому что на плоском рисунке две непересекающиеся линии часто изображают параллельными. Проверь, лежат ли прямые в одной плоскости: если нет, они скрещиваются.

Ошибка — назвать прямые скрещивающимися, проверив только отсутствие общей точки. Скрещивающиеся прямые должны ещё и не лежать в одной плоскости. Для проверки попробуй определить плоскость, содержащую обе прямые; если такая плоскость есть, прямые не скрещиваются.

Ошибка — определять положение объектов только по тому, как они выглядят на чертеже. Перспектива может сделать параллельные рёбра непараллельными на бумаге или скрыть важные детали. Сверься с условиями и обозначениями, а затем проверь определения и общие точки.

Ошибка — считать, что две плоскости могут пересекаться только в одной точке. Такое представление возникает, если перенести на плоскости привычную картину пересечения линий. У двух различных пересекающихся плоскостей общая часть — прямая; проверь, что любая их общая точка входит в эту линию.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия точки, прямой и плоскости, а также умение понимать, принадлежит ли точка геометрической фигуре. Например, чтобы проверить пересечение, ищут общие точки объектов, а чтобы проверить скрещивание, выясняют, лежат ли прямые в одной плоскости. Эти знания дают основу для описания пространства.

Различение параллельных и скрещивающихся объектов пригодится при изучении параллельности и перпендикулярности в пространстве. Оно также помогает разбирать многогранники: определять положение рёбер, диагоналей и граней. Так геометрические определения становятся способом точно описывать форму объёмных тел.

Что запомнить

• Пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
• Прямая может лежать в плоскости, пересекать её или не иметь с ней общих точек.
• Две различные пересекающиеся плоскости имеют общую прямую.
• По одному рисунку нельзя надёжно определить пространственное расположение объектов.