8.1. Параллельность

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые называются a и b, пишут a ∥ b и читают: «a параллельна b». Такое определение помогает отличить параллельность от простого отсутствия пересечения на рисунке. Оно пригодится, когда нужно сравнить направления прямых и точно записать результат.

Параллельными отрезками называют отрезки, лежащие на параллельных прямых. Чтобы проверить это, представь прямые, на которых находятся отрезки, продолженными за их концы. Сравнивают именно эти прямые, а не только сами отрезки. Это нужно, потому что два отрезка могут не пересекаться, но лежать на прямых, которые при продолжении встретятся.

Параллельными лучами называют лучи, лежащие на параллельных прямых. Луч продолжается бесконечно в одном направлении, однако для определения параллельности рассматривают прямые, содержащие лучи. Так можно проверить взаимное направление лучей, даже если сами их начала и части расположены далеко друг от друга. Для лучей тоже используют знак ∥, если их обозначения известны.

Как это устроено

В определении параллельных прямых специально сказано, что они лежат в одной плоскости. В пространстве две прямые могут не пересекаться потому, что расположены в разных плоскостях, а не потому, что идут параллельно. Например, края соседних стен и пола могут не встречаться, хотя направления у них разные. Поэтому сначала проверяют, принадлежат ли прямые одной плоскости, и только потом судят о пересечении.

Параллельные прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны. На плоском чертеже это можно изобразить двумя прямыми с одинаковыми стрелками; стрелки помогают показать, что направление сохраняется. Если кажется, что линии скоро сойдутся, проверь их построение: параллельность задаётся не близостью на рисунке, а тем, что прямые не имеют общей точки. Рисунок может быть неточным, поэтому одного взгляда иногда недостаточно.

Для отрезков и лучей параллельность определяют через прямые, на которых они лежат. Мысленно или на чертеже продолжи каждый отрезок в обе стороны до прямой, а луч — в сторону, противоположную его началу. Затем проверь, параллельны ли получившиеся прямые. Этот способ удобен, потому что он одинаково работает для фигур разной длины и положения.

Параллельную прямую можно построить с помощью линейки и угольника. Приложи одну сторону угольника к данной прямой, а к другой стороне угольника прижми линейку. Удерживай линейку и передвигай угольник вдоль неё, не поворачивая; когда сторона угольника пройдёт через заданную точку, проведи по ней прямую. Поскольку направление стороны не изменилось, новая прямая параллельна исходной.

Если две различные прямые принадлежат одной плоскости, возможны только два случая: они пересекаются в одной точке или не пересекаются. Во втором случае по определению они параллельны. Прямые не могут одновременно пересекаться и быть параллельными, потому что это противоречило бы условию «не пересекаются». Это правило помогает полностью описать взаимное положение двух прямых на плоскости.

Параллельные прямые, отрезки и лучи

В таблице сначала найди нужный объект, а затем прочитай, какое условие надо проверить. Для отрезков и лучей проверяй не только их положение, но и прямые, на которых они лежат. Буквы в обозначении можно заменить названиями тех прямых, отрезков или лучей, которые даны в задаче.

Разбор задач

Задача 1. Найти пары параллельных прямых

Условие: на рисунке даны несколько прямых. Нужно указать пары параллельных прямых и записать ответ с помощью обозначений. Проверяем, что прямые находятся в одной плоскости, и выясняем, пересекаются ли они. Важно не принимать наклон линий на рисунке за доказательство параллельности.

1. Назови прямые их буквами, чтобы не перепутать пары.
2. Для каждой пары проверь, что обе прямые лежат в одной плоскости.
3. Представь, что прямые продолжены в обе стороны, и определи, пересекутся ли они.
4. Запиши только пары, которые не пересекаются, используя знак ∥.

Если, например, прямые a и b удовлетворяют этим условиям, ответ записывают a ∥ b. Без самого рисунка перечислить конкретные пары нельзя, но порядок проверки остаётся тем же. Ответ должен содержать обозначения найденных пар, а не только слова «эти прямые параллельны».

Задача 2. Построить параллельную прямую

Условие: через заданную точку нужно провести прямую, параллельную данной прямой. Для построения возьмём линейку и угольник. Их нужно перемещать так, чтобы направление угольника не менялось. Тогда новая линия сохранит направление исходной.

1. Приложи сторону угольника к данной прямой.
2. Прижми линейку к другой стороне угольника и удерживай её неподвижно.
3. Передвигай угольник вдоль линейки, не поворачивая его, пока его сторона не пройдёт через заданную точку.
4. Проведи по этой стороне прямую и обозначь её, если это требуется.

Угольник при переносе скользит, а не вращается, поэтому выбранная сторона остаётся направленной так же, как прежде. Если угольник повернуть, направление изменится и параллельность не будет обеспечена. Ответ: через заданную точку проведена прямая, параллельная данной.

Задача 3. Проверить параллельность отрезков

Условие: отрезки AB и CD лежат на прямых a и b, причём a ∥ b. Нужно определить, параллельны ли отрезки AB и CD. Отрезки могут быть разной длины и находиться на разных участках своих прямых. Решение зависит от прямых, на которых они расположены.

1. Установи, на каких прямых лежат отрезки: AB — на a, CD — на b.
2. Используй известное условие a ∥ b: прямые a и b параллельны.
3. Примени определение: отрезки на параллельных прямых являются параллельными.

Проверять, пересекаются ли сами отрезки, здесь не требуется: они лежат на уже указанных параллельных прямых. Ответ: AB ∥ CD. Даже если отрезки не соприкасаются и один короче другого, это не меняет вывода.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так думают, когда рассматривают чертёж только на плоскости и забывают, что геометрические прямые могут находиться в пространстве. Там прямые в разных плоскостях иногда не пересекаются, но не являются параллельными. Проверь себя: для параллельности нужно установить и общую плоскость, и отсутствие пересечения.

Ошибка: объявлять отрезки параллельными только потому, что они не пересекаются. Это легко сделать, если смотреть лишь на ограниченные концы линий и не продолжать их мысленно. Продолженные прямые могут пересечься, хотя сами отрезки расположены далеко друг от друга. Проверь, на каких прямых лежат отрезки, и сравни именно эти прямые.

Ошибка: полагаться на то, что прямые на рисунке выглядят одинаково наклонёнными. Чертёж может быть сделан приблизительно, а направление линии на бумаге не доказывает математическое свойство. Поэтому глазом можно лишь предположить параллельность, но окончательный вывод делают по условию или построению. Проверь, есть ли в задаче отметки, данные или способ построения, подтверждающие, что прямые не пересекаются.

Ошибка: записывать параллельность знаком равенства или перпендикулярности. Эти знаки обозначают другие отношения, поэтому запись a = b или a ⟂ b не подходит для параллельных прямых. Путаница возникает, когда знаки пытаются запомнить без связи с их смыслом. Проверь запись: для параллельности нужен знак ∥, например a ∥ b.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в параллельности, нужно знать, что такое прямая, отрезок, луч и плоскость. Прямая продолжается в обе стороны, отрезок имеет два конца, а луч — начало и продолжается в одну сторону. Плоскость помогает понять, почему в пространстве одного условия «не пересекаются» недостаточно. Эти понятия нужны, чтобы правильно применять определения.

Параллельность пригодится при изучении углов и геометрических фигур, а также при построении чертежей. Она помогает описывать положение сторон фигур и аккуратно переносить направления с помощью инструментов. В дальнейшем по параллельным прямым можно будет находить связи между углами. Поэтому важно научиться не только распознавать параллельные линии, но и правильно обосновывать ответ.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Для записи параллельности используют знак ∥.
• Параллельность отрезков определяют по прямым, на которых они лежат.
• Параллельность лучей определяют по прямым, на которых они лежат.
• На чертеже параллельность обозначают одинаковыми стрелками.
• Две различные прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны.