8.2. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Это определение помогает проверить сразу два условия: прямые должны лежать в одной плоскости и не иметь общей точки. Недостаточно увидеть на небольшом чертеже, что линии пока не встретились. Нужно учитывать их продолжение в обе стороны.

Запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны. Символ ∥ заменяет слова и позволяет коротко записывать отношение между прямыми. Буквами обычно обозначают сами прямые, поэтому запись читают: «прямая a параллельна прямой b». Такое обозначение удобно использовать в чертежах и решениях задач.

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, проведённого от точки одной прямой к другой. Перпендикуляр — это отрезок, который пересекает прямую под прямым углом, то есть под углом 90°. Это определение показывает, какой именно отрезок нужно измерять: не любой соединяющий прямые, а только перпендикуляр. По нему сравнивают, насколько далеко прямые расположены друг от друга.

Как это устроено

Условие «лежат в одной плоскости» отличает параллельные прямые от некоторых прямых в пространстве. Представь две линии на разных стенах: они могут не встретиться, но не получится расположить обе на одной общей плоской поверхности. Значит, одного отсутствия пересечения недостаточно. Для параллельности нужны и одна плоскость, и отсутствие общих точек.

На рисунке прямые часто изображают короткими отрезками, но прямая не заканчивается там, где закончилась линия на бумаге. Она продолжается бесконечно в обе стороны. Поэтому две нарисованные линии могут не пересекаться в пределах листа, но встретиться, если продлить их дальше. Чтобы определить параллельность, рассматривают не только видимую часть, а сами прямые и условия задачи.

На чертеже параллельные прямые выглядят как линии одного направления, которые не сходятся. Однако внешний вид сам по себе может быть неточным: рисунок делают от руки, а перспективное изображение может искажать углы и расстояния. Если известно, что прямые параллельны, это обозначают записью a ∥ b. При проверке учитывают, что прямые находятся в одной плоскости и не пересекаются при продолжении.

Чтобы провести через точку M вне прямой a параллельную ей прямую, используют угольник и линейку. Приложи один край угольника к прямой a, а линейку — к другому краю, чтобы угольник мог скользить вдоль линейки. Удерживая линейку на месте, передвинь угольник до точки M и проведи вдоль того же края линию. Направление края не изменилось, поэтому новая прямая параллельна a.

Расстояние между параллельными прямыми не зависит от того, какую точку на одной прямой выбрали. Если из разных точек провести перпендикуляры до второй прямой, их длины окажутся одинаковыми. Иначе прямые сближались бы или удалялись друг от друга, а тогда при продолжении они не оставались бы параллельными. Поэтому для измерения можно выбрать удобное место, но отрезок обязательно должен быть перпендикуляром.

Сравнение параллельных и пересекающихся прямых

Сравнивай прямые по нескольким признакам, а не только по тому, как они выглядят на рисунке. Сначала выясни, есть ли у них общая точка, затем проверь, лежат ли они в одной плоскости. Для расстояния между параллельными прямыми ищи именно перпендикуляр.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены две прямые a и b. Определите, параллельны ли они, если при продолжении они не пересекаются. В условии уже указано, что при продолжении общих точек не возникает. Но определение параллельных прямых требует также, чтобы они лежали в одной плоскости.

1. Проверь условие о плоскости: прямые должны быть расположены в одной плоскости.
2. Учитывай указанное в задаче отсутствие пересечения при продолжении.
3. Сопоставь оба условия с определением параллельных прямых.

Ответ: если a и b лежат в одной плоскости, то они параллельны, и можно записать a ∥ b. Если условие об одной плоскости не выполнено или неизвестно, одного факта о непересечении недостаточно.

Задача 2. Проведите через точку M, не лежащую на прямой a, прямую, параллельную a. Нужно построить новую прямую, сохранив направление прямой a. Для этого угольник скользит по линейке, а линейка служит направляющей и остаётся неподвижной.

1. Приложи край угольника к прямой a, а линейку прижми к другому его краю.
2. Не двигая линейку, передвигай угольник по ней до тех пор, пока выбранный край угольника не пройдёт через M.
3. Проведи через M прямую вдоль этого края угольника.

Ответ: проведённая через M прямая параллельна a. Край угольника сохраняет направление, потому что угольник перемещается вдоль линейки, не поворачиваясь.

Задача 3. Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 4 см. Найдите расстояние от точки M на прямой a до прямой b, если перпендикуляр из M к b образует с прямой a угол 90°. Здесь нужно распознать, что отрезок от M к b перпендикулярен прямой a и тем самым измеряет расстояние между прямыми.

1. Уточни, что M лежит на a, а конец перпендикуляра находится на b.
2. Угол 90° показывает, что отрезок перпендикулярен a; так как a ∥ b, он также задаёт кратчайшее расстояние между прямыми.
3. Используй данное значение расстояния: 4 см.

Ответ: расстояние от M до прямой b равно 4 см. Выбирать другой наклонный отрезок вместо перпендикуляра не нужно.

Типичные ошибки

Ошибка — называть параллельными любые непересекающиеся прямые. Так думают, потому что запоминают только часть определения и не учитывают, что обе прямые должны лежать в одной плоскости. В пространстве непересекающиеся линии могут находиться в разных плоскостях. Проверь себя: можно ли расположить обе прямые на одной плоской поверхности?

Ошибка — считать прямые параллельными только потому, что на коротком рисунке они не пересекаются. Чертёж показывает лишь ограниченную часть прямых, а сами прямые продолжаются бесконечно. Из-за этого линии могут встретиться за пределами листа. Проверь, что будет при мысленном продолжении прямых в обе стороны.

Ошибка — путать параллельные прямые с перпендикулярными. Оба слова связаны с расположением прямых, поэтому их иногда смешивают, но свойства у них разные: параллельные не имеют общих точек, а перпендикулярные пересекаются под углом 90°. Перпендикуляр — это отрезок, а не название параллельности. Проверь, пересекаются ли прямые и образуют ли они прямой угол.

Ошибка — измерять расстояние между параллельными прямыми наклонным отрезком. Такой отрезок соединяет прямые, но его длина не является расстоянием между ними, потому что он не задаёт кратчайший путь. Расстояние определяют по перпендикуляру. Проверь угол между отрезком и прямой: он должен быть равен 90°.

Связь с другими темами

Для изучения параллельных прямых нужны понятия прямой, плоскости и пересечения прямых. Также важно знать, что такое перпендикуляр и прямой угол: без этого нельзя правильно определить расстояние между прямыми. Дальше параллельность помогает разбирать углы, которые образуются при пересечении прямых секущей. Она встречается и при изучении многоугольников и построений на плоскости.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Параллельность прямых a и b записывают: a ∥ b.
• Прямые на рисунке нужно мысленно продолжать в обе стороны.
• Через точку вне прямой можно провести прямую, параллельную данной.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряют по перпендикуляру.
• Все перпендикуляры между одной парой параллельных прямых имеют одинаковую длину.