"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Чтобы построить прямую, параллельную данной, достаточно провести две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой: первая задаст направление, а вторая пройдёт через нужную точку. Такой способ помогает выполнять точные геометрические построения линейкой и циркулем. Расстояние между параллельными прямыми измеряют по перпендикуляру.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их обозначают a ∥ b. Это понятие помогает описать прямые, сохраняющие одно направление, и обосновать, что построенная линия не встретится с исходной.
Перпендикулярные прямые — прямые, пересекающиеся под прямым углом, то есть под углом 90°. Запись a ⟂ b показывает, что прямые a и b перпендикулярны. Такие прямые нужны в построении параллельной линии: две прямые, перпендикулярные одной и той же, параллельны друг другу.
Перпендикуляр к прямой — прямая или отрезок, образующие с данной прямой угол 90°. Его проводят, когда нужно точно задать направление или измерить расстояние до прямой. Перпендикуляр может начинаться в точке на прямой либо соединять прямую с точкой вне неё.
Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикулярного отрезка, соединяющего эти прямые. Наклонный отрезок между ними не задаёт расстояние, потому что его длина больше. Это определение позволяет строить параллельные прямые с заданной шириной между ними.
Представь прямую a и другую прямую b, которая пересекает её под прямым углом. Теперь проведи прямую c, тоже образующую с b угол 90°. Прямые a и c не пересекутся: если бы они пересеклись, получились бы две прямые через одну точку, перпендикулярные b, а таких перпендикуляров к b в этой точке только один. Значит, a и c параллельны.
Чтобы построить перпендикуляр к прямой через заданную точку, понадобится циркуль и линейка. Если точка лежит на прямой, отметь на ней две точки по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии, а затем построй серединный перпендикуляр к отрезку между ними. Если точка находится вне прямой, проведи из неё дугу так, чтобы она пересекла прямую в двух точках, и построй серединный перпендикуляр к отрезку между этими точками. Он проходит через заданную точку и образует с исходной прямой угол 90°.
Чтобы получить прямую, параллельную a через точку A, сначала построй перпендикуляр b к a. Затем через A построй перпендикуляр c к b. Теперь a и c перпендикулярны одной и той же прямой b, поэтому они параллельны. Такой способ не требует угадывать направление новой прямой: его задают два точных прямых угла.
Точка, через которую проводят вторую прямую, влияет на расстояние между параллельными прямыми. Если перед вторым построением выбрать другую точку на перпендикуляре b, параллельная прямая сместится дальше от a или ближе к ней. Длина отрезка от a до этой точки измеряется по b, потому что b перпендикулярна обеим параллельным прямым. Поэтому для заданного расстояния сначала откладывают нужную длину именно на перпендикуляре.
Проверять результат нужно не только по тому, как линии выглядят на чертеже. Убедись, что первый угол между a и b равен 90°, а второй угол между b и c тоже равен 90°. После этого можно применить свойство: две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. Если углы не прямые или одна из линий не проходит через заданную точку, построение нужно исправить.
Читайте таблицу сверху вниз: каждый этап использует результат предыдущего. Сначала строится вспомогательная прямая, затем через нужную точку проводится ещё один перпендикуляр. Последняя строка объясняет, почему полученные прямые параллельны.
| Этап построения | Что известно | Действие | Почему это работает |
|---|---|---|---|
| Исходная прямая | Дана прямая a | Выбрать на ней точку и использовать её как основу построения | Она задаёт направление будущей параллельной прямой |
| Первый перпендикуляр | Дана точка на исходной прямой | Построить прямую b, перпендикулярную a | b ⟂ a |
| Второй перпендикуляр | Дана точка вне исходной прямой | Через неё построить прямую c, перпендикулярную b | c ⟂ b |
| Итог | a ⟂ b и c ⟂ b | Сделать вывод о взаимном расположении a и c | Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны |
Задача 1. Постройте через точку A, не лежащую на прямой a, прямую, параллельную a. Искомая прямая должна проходить именно через A, поэтому недостаточно нарисовать линию, похожую на параллельную. Воспользуемся двумя перпендикулярами к одной прямой. Шаги построения также дадут доказательство результата.
Ответ: прямая c проходит через A и параллельна a. Основанием для вывода служит свойство двух прямых, перпендикулярных одной прямой. Если проверяете чертёж угольником, убедитесь, что оба прямых угла построены именно с b.
Задача 2. Постройте две параллельные прямые, расстояние между которыми равно заданному отрезку AB. Сначала нужно задать расстояние, а уже затем расположить вторую прямую. Для этого отрезок AB переносят на перпендикуляр к первой прямой, а не на наклонную линию. Конец перенесённого отрезка станет точкой для построения второй прямой.
Ответ: прямые a и c параллельны, расстояние между ними равно длине AB. Циркуль при переносе длины нельзя раскрывать или сжимать. Если раствор изменился, отложенный отрезок может получиться не той длины.
Задача 3. На чертеже даны прямая a и точка A. Выполните построение параллельной прямой и обоснуйте каждый шаг. Здесь требуется не только получить линию, но и объяснить, почему она решает задачу. Поэтому после построения назовём перпендикуляры и применим известное свойство. Порядок действий такой же, как в первой задаче.
Ответ: построенная через A прямая c параллельна a. В обосновании указаны оба нужных прямых угла и свойство, которое связывает их с параллельностью. Если c не проходит через A или один из углов не прямой, задача не выполнена.
Иногда вторую прямую проводят «на глаз», потому что на рисунке она выглядит параллельной первой. Но небольшое отклонение может быть незаметно, а внешний вид не доказывает, что линии не пересекутся. Построй два перпендикуляра к одной прямой и проверь оба прямых угла. Только после этого можно обосновать параллельность.
Бывает, что второй перпендикуляр строят не через заданную точку. Тогда прямая может быть параллельна исходной, но условие задачи не выполнено. Перед построением отметь точку и убедись, что новая линия проходит через неё. После этого проверь её перпендикулярность вспомогательной прямой.
Нельзя путать условие «две прямые перпендикулярны одной прямой» с тем, что прямые просто пересекаются. Само пересечение не означает параллельность и не даёт нужного свойства. Проверь, что обе прямые образуют с одной и той же прямой углы 90°. Если общего перпендикуляра нет, этот способ обоснования не подходит.
При переносе длины циркулем иногда меняют его раствор или не удерживают ножки на нужных точках. В результате отложенный отрезок оказывается короче или длиннее заданного, и расстояние между прямыми получается неверным. Сохраняй раствор циркуля от исходного отрезка до отметки на перпендикуляре. Для проверки сравни расстояние между прямыми именно по перпендикуляру.
До этой темы нужно знать, как выглядит прямой угол и что означают перпендикулярные прямые. Также пригодятся навыки работы с линейкой и циркулем: ими проводят прямые, строят равные отрезки и отмечают точки. Эти умения помогают выполнять построение точно, а не только рисовать схему от руки.
Построение связано с темой о взаимном расположении прямых и признаками параллельности. Признак — это условие, по которому можно сделать вывод, что прямые параллельны; здесь таким условием служат два перпендикуляра к одной прямой. Позже тот же вывод будет помогать разбирать геометрические чертежи.
Параллельные прямые нужны при построении расстояний и высот фигур. Высота — это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение, поэтому понимание перпендикуляров здесь особенно полезно. Параллельные стороны встречаются в геометрических фигурах, например в прямоугольниках и параллелограммах.
Почему для построения параллельной прямой нужно строить два перпендикуляра?
Обе искомые прямые должны быть перпендикулярны одной и той же прямой. В плоскости две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны. Поэтому второй перпендикуляр, проведённый через заданную точку, и будет нужной параллельной прямой.
Можно ли провести параллельную прямую через точку на глаз?
На глаз можно провести линию, которая выглядит параллельной, но так нельзя точно проверить результат. Для доказательства строят два перпендикуляра к одной прямой. Тогда параллельность следует из свойства перпендикулярных прямых.
Как проверить, что построенные прямые действительно параллельны?
Проверьте, что обе прямые образуют с одной и той же прямой углы 90°. Это можно сделать угольником или точным построением линейкой и циркулем. По свойству двух перпендикуляров к одной прямой исходные прямые параллельны.
Как построить параллельную прямую на заданном расстоянии?
Проведите к первой прямой перпендикуляр и отложите на нём отрезок заданной длины. Через его конец постройте перпендикуляр к этому отрезку. Полученная прямая параллельна первой, а отложенный отрезок задаёт расстояние между ними.
Сколько параллельных прямых можно провести через точку, не лежащую на данной прямой?
В школьной геометрии через точку вне данной прямой можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Построение двух перпендикуляров позволяет получить её. Другой прямой через ту же точку, параллельной исходной, не будет.
8.3. Как построить две параллельные прямые?
