"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Последний случай не встречается на обычном плоском рисунке: скрещивающиеся прямые не имеют общих точек и не помещаются в одну плоскость. Поэтому недостаточно увидеть, что линии не пересекаются: нужно ещё проверить, можно ли провести через них общую плоскость. Различать эти случаи помогает анализ рёбер объёмных фигур, например куба.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пространственные прямые — это прямые, которые рассматривают в пространстве, а не только на плоскости. В пространстве линии могут быть направлены по-разному, поэтому их расположение не всегда видно по плоскому чертежу. Это понятие нужно, чтобы описывать рёбра и другие линии объёмных фигур. Для проверки их взаимного положения приходится учитывать не только вид рисунка, но и то, как прямые расположены в пространстве.
Компланарные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости. Плоскость может содержать обе прямые, даже если они не пересекаются. Например, две параллельные прямые можно провести на одном листе, значит, они компланарны. Это понятие помогает отличить параллельные прямые от скрещивающихся.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости. Иными словами, они не пересекаются, но и общей плоскости для них нет. Такое расположение возможно именно в пространстве. Определение нужно, чтобы не называть параллельными любые две непересекающиеся прямые.
Параллельные прямые в пространстве — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Значит, у них нет общих точек, но общая плоскость существует. Это уточнение сохраняет привычное понятие параллельности и помогает сравнивать его со скрещиванием. Одного отсутствия пересечения для вывода о параллельности недостаточно.
На плоскости две прямые либо пересекаются, либо не пересекаются; если они не пересекаются, их называют параллельными. В пространстве появляется ещё одна возможность, потому что прямые могут быть направлены так, что не встретятся и не окажутся в общей плоскости. Поэтому проверка только на пересечение не даёт полного ответа. После неё нужно выяснить, компланарны ли прямые.
Чтобы понять, что прямые скрещиваются, сначала устанавливают, что у них нет общих точек. Затем проверяют, можно ли провести плоскость, в которой лежат обе прямые. Если такой плоскости нет, прямые скрещиваются. На практике это обосновывают расположением прямых в объёмной фигуре: например, показывают, что одна прямая проходит через точки одной грани, а другая направлена по ребру, не принадлежащему плоскости этой грани.
Непересекающиеся прямые могут быть некомпланарными, потому что пространство не ограничено одной плоскостью. Представь куб ABCDA₁B₁C₁D₁: прямая AB проходит по нижнему переднему ребру, а CC₁ — по вертикальному ребру на противоположной стороне. Они не встречаются, но и плоскости, содержащей обе прямые, нет. Значит, это не просто две непересекающиеся линии на рисунке, а пример скрещивающихся прямых.
Параллельные и скрещивающиеся прямые обе не пересекаются, поэтому одного этого признака для различения мало. Нужно проверить, лежат ли они в одной плоскости: если да, и пересечения нет, прямые параллельны; если общей плоскости нет, они скрещиваются. Например, AB и CD — противоположные рёбра нижней грани куба, поэтому они параллельны и находятся в одной плоскости. А AB и CC₁ не помещаются в общую плоскость.
Полная классификация двух прямых в пространстве состоит из трёх случаев. Если у них есть общая точка, они пересекаются; две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки. Если общих точек нет, выясняют, можно ли провести через обе одну плоскость. При наличии такой плоскости прямые параллельны, а при её отсутствии — скрещиваются.
| Случай | Есть общие точки? | Лежат в одной плоскости? | Как распознать |
|---|---|---|---|
| Пересекающиеся прямые | Да, одна | Да | Имеют общую точку |
| Параллельные прямые | Нет | Да | Не пересекаются, но компланарны |
| Скрещивающиеся прямые | Нет | Нет | Не пересекаются и некомпланарны |
Пользуйся таблицей последовательно: сначала проверь, есть ли общая точка. Если её нет, выясни, можно ли поместить прямые в одну плоскость. Такое сравнение позволяет не спутать скрещивание с параллельностью.
На рисунке изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Определите, пересекаются, параллельны или скрещиваются прямые AB и CC₁.
Прямая AB проходит по нижнему ребру куба, а CC₁ — по вертикальному ребру в другой части куба. Эти рёбра не имеют общей вершины, поэтому прямые не пересекаются. Их направления различны, значит, параллельными они тоже не являются.
Проверим, может ли одна плоскость содержать обе прямые. Плоскость через AB и CC₁ должна включать точки A, B, C и C₁. Но A, B и C лежат в плоскости нижнего основания, а C₁ не лежит в ней. Единственная плоскость через A, B и C — плоскость основания, поэтому общей плоскости для прямых нет.
Ответ: прямые AB и CC₁ скрещиваются.
Для рёбер куба ABCDA₁B₁C₁D₁ классифицируйте взаимное расположение прямых AB и B₁C₁, AD и BC, AB и CC₁. В каждом случае используем общие точки и проверяем, можно ли расположить прямые в одной плоскости.
AB и B₁C₁ не имеют общей точки: первое ребро находится внизу, второе — наверху. Их направления различны, поэтому они не параллельны. Общей плоскости для них нет, следовательно, это скрещивающиеся прямые.
AD и BC — противоположные рёбра нижней грани ABCD. Они не пересекаются, имеют одинаковое направление и лежат в одной плоскости основания. Значит, прямые параллельны.
AB и CC₁ также не пересекаются и не параллельны. Как показано в предыдущем разборе, общей плоскости, содержащей оба ребра, нет. Поэтому эта пара тоже скрещивается.
Ответ: AB и B₁C₁ скрещиваются; AD и BC параллельны; AB и CC₁ скрещиваются.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ назовите все рёбра, прямые, содержащие которые скрещиваются с прямой AB. Удобно перебрать рёбра группами: сначала исключить пересекающие AB, потом параллельные ей.
С прямой AB пересекаются прямые, содержащие рёбра, выходящие из A и B: AD, AA₁, BC и BB₁. Они не могут быть скрещивающимися, так как имеют с AB общую точку. Учитываем именно прямые, содержащие рёбра, а не только отрезки внутри куба.
С AB параллельны прямые, содержащие рёбра CD, A₁B₁ и C₁D₁. Эти рёбра направлены так же, как AB, и лежат с ней в общих плоскостях попарно. Их также исключаем.
Остаются рёбра B₁C₁, CC₁ и DD₁. Ни одно из них не пересекает AB и не параллельно ей. Каждая из этих прямых некомпланарна с AB, поэтому все три пары скрещиваются.
Ответ: прямые, содержащие рёбра B₁C₁, CC₁ и DD₁.
Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так рассуждают по привычному правилу для плоскости и забывают, что в пространстве есть скрещивающиеся прямые. Проверь себя: если общих точек нет, обязательно выясни, лежат ли прямые в одной плоскости. Без этой проверки слово «параллельны» использовать нельзя.
Ошибка: объявлять прямые скрещивающимися только потому, что на рисунке они не пересекаются. На плоском изображении объёмной фигуры часть пространственного расположения скрыта, поэтому отсутствие видимой встречи ничего не доказывает. Проверь, что прямые действительно не имеют общей точки и не могут лежать в одной плоскости. Подтверждай вывод геометрией фигуры, а не внешним видом линий.
Ошибка: путать отсутствие общих точек с отсутствием общей плоскости. Параллельные прямые тоже не пересекаются, но их можно провести на одной плоскости. Ошибка возникает, если учитывать только один признак. Для самопроверки отдельно ответь на два вопроса: пересекаются ли прямые и компланарны ли они.
Ошибка: определять расположение по пересечению или непересечению проекций. Проекция — это изображение пространственной фигуры на плоскости; при таком изображении прямые могут выглядеть иначе, чем в пространстве. Поэтому видимое пересечение линий не всегда означает общую точку самих прямых, а видимое расхождение не доказывает скрещивание. Проверяй расположение по вершинам, рёбрам и плоскостям фигуры.
Чтобы разбирать пространственные прямые, нужно знать, что такое прямая и плоскость, а также различать пересекающиеся и параллельные прямые на плоскости. Эти знания помогают понять, почему для определения расположения недостаточно просто проверить пересечение. Новое понятие скрещивания расширяет привычную классификацию прямых.
Тема пригодится при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Сначала важно научиться определять, может ли прямая лежать в плоскости или пересекать её, а затем эти рассуждения применяются к более сложным фигурам. Навык проверки принадлежности одной плоскости служит связующим шагом.
Скрещивающиеся прямые помогают описывать расположение рёбер и других линий в объёмных фигурах. Например, с их помощью можно сравнивать рёбра куба, которые не имеют общей вершины, но и не идут в одном направлении в общей плоскости. Это позволяет точнее рассуждать о форме объёмного тела.
Чем скрещивающиеся прямые отличаются от параллельных?
Оба вида прямых не имеют общих точек. Но параллельные прямые лежат в одной плоскости, а скрещивающиеся — нет.
Могут ли скрещивающиеся прямые пересекаться?
Нет. У скрещивающихся прямых нет общих точек. Если прямые пересекаются, они не являются скрещивающимися.
Как доказать, что две прямые скрещиваются?
Нужно установить, что прямые не пересекаются, и доказать, что не существует плоскости, содержащей обе прямые. Одного взгляда на рисунок для такого вывода недостаточно.
Почему на плоском рисунке трудно определить, скрещиваются ли прямые?
Рисунок объёмной фигуры изображён на плоскости, поэтому направления и расстояния на нём могут выглядеть иначе, чем в пространстве. Изображённое непересечение само по себе не доказывает, что прямые не лежат в одной плоскости.
Какие рёбра куба могут быть скрещивающимися?
Например, прямая AB и прямые B₁C₁, CC₁ или DD₁. Они не пересекаются с AB и не параллельны ей, а общей плоскости с AB у них нет.
8.4. Ещё один случай взаимного расположения двух прямых
