§ 9. Фигуры, составленные из параллельных отрезков

Определения и обозначения

Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых. На рисунке их направления совпадают: если продолжить прямые, на которых они лежат, прямые не пересекутся. Это определение помогает отличить параллельность от простого отсутствия пересечения отрезков.

Многоугольник — замкнутая фигура из последовательно соединённых отрезков. Места, где соседние отрезки соединяются, называют вершинами, а сами отрезки — сторонами. Это нужно, чтобы правильно пересчитать стороны и описать, как устроена граница фигуры.

Фигура, составленная из параллельных отрезков, — многоугольник, среди сторон которого есть параллельные стороны или группы таких сторон. Например, можно сравнивать противоположные стороны и отмечать пары одинаковыми стрелками. Так на чертеже сразу видно, какие стороны имеют общее направление.

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Противоположными называют стороны, которые не имеют общей вершины. Это определение позволяет проверить, является ли четырёхугольник параллелограммом, а не просто фигурой с одной парой параллельных сторон.

Как это устроено

Чтобы определить параллельные стороны, сначала найди их направление: например, обе могут идти снизу вверх вправо. Затем мысленно продолжи каждую сторону до прямой и проверь, пересекутся ли эти прямые. На аккуратном чертеже параллельность иногда показывают одинаковыми стрелками на отрезках. Такой знак сообщает о свойстве фигуры, а не о том, что длины отмеченных сторон одинаковы.

У замкнутого четырёхугольника стороны идут по порядку, и у каждой есть противоположная сторона. Если обе пары противоположных сторон параллельны, выполняется определение параллелограмма. Одной пары недостаточно: у фигуры может быть только одна пара параллельных сторон. Поэтому проверяют обе пары, а не делают вывод по одному совпавшему направлению.

Параллельность в параллелограмме связана с равенством его противоположных сторон и углов. Если провести диагональ, она разделит фигуру на два треугольника; из-за параллельности сторон у них получаются равные соответствующие углы. Общая диагональ и эти углы позволяют установить равенство треугольников, а значит, соответствующих сторон. Так же сравниваются углы при противоположных вершинах, поэтому они равны.

Прямоугольник — не отдельный от параллелограмма вид фигуры, а его частный случай: у него, помимо параллельных противоположных сторон, все углы прямые. Квадрат — прямоугольник, у которого ещё и все стороны равны. Поэтому каждый квадрат является прямоугольником и параллелограммом, но не каждый параллелограмм — прямоугольник или квадрат. Например, у параллелограмма углы могут быть не прямыми, а соседние стороны — разной длины.

Параллельность помогает строить фигуру: через заданные точки проводят прямые в направлениях, параллельных известным сторонам, а место пересечения задаёт вершину. Для периметра используют длины всех сторон по границе; у параллелограмма достаточно знать длины двух соседних сторон, потому что противоположные им стороны равны. Проверяя чертёж, убедись, что стороны соединяются последовательно, образуют замкнутую линию и нужные пары действительно параллельны. Это помогает заметить и ошибку в построении, и пропущенную сторону при подсчёте.

Фигуры с параллельными сторонами и их свойства

Сначала найди в таблице число сторон, затем сравни пары параллельных сторон и равенства. Особые свойства помогают увидеть, какая фигура является частным случаем другой. Например, квадрат отвечает условиям прямоугольника и параллелограмма.

Разбор задач

Задача 1. Замкнутая фигура состоит из шести отрезков. Нужно указать пары параллельных отрезков и назвать фигуру по количеству сторон. Сам рисунок здесь не задан, поэтому направление конкретных отрезков нельзя определить заранее. Покажем, как выполнить проверку на чертеже с обозначенными вершинами A, B, C, D, E, F.

1. Перечисли отрезки по границе: AB, BC, CD, DE, EF и FA. Их шесть, и каждый соседний отрезок соединён в вершине.

2. Сравни направления сторон и мысленно продолжи их до прямых. Если, например, AB и DE идут в одном направлении и их прямые не пересекаются, запиши AB ∥ DE; так же проверь остальные возможные пары.

3. Не объявляй две стороны параллельными только потому, что на рисунке между ними есть промежуток. Нужна проверка содержащих их прямых, а конкретные пары зависят от самого чертежа.

4. Убедись, что граница замкнулась и насчитано шесть сторон. Многоугольник с шестью сторонами называют шестиугольником.

Ответ: пары параллельных отрезков определяют по направлению на данном чертеже; фигура с шестью сторонами — шестиугольник.

Задача 2. Построй параллелограмм ABCD, если известны стороны AB и AD, а также точка C. Нужно проверить, подходит ли заданная точка C, и получить вершины так, чтобы противоположные стороны были параллельны. Если все вершины уже заданы, точка C должна лежать в нужном месте. Построение основано на определении параллелограмма.

1. Через точку B проведи прямую, параллельную AD. На ней должна лежать сторона BC.

2. Через точку D проведи прямую, параллельную AB. На ней должна лежать сторона DC.

3. Точка пересечения проведённых прямых — предполагаемая вершина C. Если C уже дана, проверь, что она лежит на обеих прямых; иначе заданные данные не образуют нужный параллелограмм.

4. Соедини соседние вершины по порядку и проверь обе пары: AB ∥ CD и AD ∥ BC. Пересечение прямых задаёт вершину потому, что она одновременно должна принадлежать обеим сторонам.

Ответ: вершина C — пересечение прямой через B, параллельной AD, и прямой через D, параллельной AB.

Задача 3. У прямоугольной фигуры длина одной стороны 8 см, а другой — 5 см. Найди периметр и укажи, какие стороны имеют такую же длину. Периметр — это сумма длин всех сторон замкнутой фигуры. В прямоугольнике противоположные стороны равны.

1. У прямоугольника четыре стороны: две противоположные имеют длину 8 см, а две другие — 5 см. Это следует из свойства параллелограмма, которым является прямоугольник.

2. Сложи длины всех сторон: 8 + 5 + 8 + 5 = 26 см. Каждая сторона границы учитывается один раз.

3. Проверь вычисление группировкой равных сторон: 2 · 8 + 2 · 5 = 16 + 10 = 26 см. Оба способа дают один результат.

Ответ: периметр равен 26 см; противоположная сторона длиной 8 см тоже равна 8 см, а противоположная сторона длиной 5 см — 5 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллельными любые отрезки, которые не пересекаются на рисунке. Так думают, потому что сравнивают только сами короткие отрезки и не учитывают, что их прямые могут пересечься за их пределами. Проверь себя: мысленно продолжи обе стороны до прямых и сравни их направления.

Ошибка: путать противоположные стороны с соседними. Соседние стороны имеют общую вершину, а противоположные не соединены напрямую; путаница меняет проверяемые пары. Пройди по границе фигуры и найди сторону, которая расположена напротив выбранной и не имеет с ней общей вершины.

Ошибка: называть параллелограммом любой четырёхугольник. У него может быть одна пара параллельных сторон, но для параллелограмма необходимы две пары противоположных параллельных сторон. Проверь каждую пару отдельно, прежде чем давать фигуре название.

Ошибка: при вычислении периметра складывать только разные длины сторон. Одинаковая длина не означает, что сторона встречается на границе только один раз: у прямоугольника каждая из двух длин относится к двум сторонам. Чтобы проверить себя, обойди границу и посчитай каждую сторону ровно один раз.

Связь с другими темами

Для работы с параллельными отрезками пригодятся знания о видах углов и многоугольников, их вершинах и сторонах. Также нужно уметь определять параллельность прямых и измерять отрезки. Эти умения помогают сравнивать направления и проверять построения.

Тема связана с построением геометрических фигур: параллельные прямые позволяют восстановить недостающую вершину. Позже свойства параллелограмма, прямоугольника и квадрата пригодятся при изучении площадей и координатных построений. Знание фигур помогает выбирать нужные свойства вместо измерения каждой стороны.

Что запомнить

• Параллельные отрезки лежат на параллельных прямых.
• Стороны многоугольника соединяются последовательно и образуют замкнутую фигуру.
• У параллелограмма противоположные стороны попарно параллельны.
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Прямоугольник — параллелограмм с четырьмя прямыми углами.
• Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.
• Параллельность сторон помогает строить фигуры и находить их свойства.