9.1. Четырёхугольники с параллельными сторонами

Определения и обозначения

Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами. Вершины обычно называют по порядку: ABCD, а стороны записывают как AB, BC, CD и DA. Такое обозначение помогает понять, какие стороны соседние, а какие противоположные, и не перепутать их при решении задач.

Трапеция — четырёхугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна. Параллельные стороны называют основаниями, а две другие — боковыми сторонами. Например, если AB параллельна CD, то AB и CD — основания; это различение нужно, чтобы описывать фигуру и её стороны точно.

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. В записи ABCD это означает, что AB параллельна CD, а AD параллельна BC. Определение позволяет сразу отличить параллелограмм от трапеции и применять свойства параллельных прямых.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые; ромб — параллелограмм, у которого равны все стороны. Квадрат сочетает оба свойства: у него и все стороны равны, и все углы прямые. Эти определения нужны, чтобы увидеть родство фигур: у прямоугольника, ромба и квадрата есть свойства параллелограмма.

Как это устроено

Чтобы разделить четырёхугольники на трапеции и параллелограммы, проверяют каждую пару противоположных сторон. Если параллельна ровно одна пара, перед нами трапеция; если параллельны обе — параллелограмм. Проверка обеих пар важна: одного факта о параллельных сторонах недостаточно, чтобы назвать фигуру трапецией.

В параллелограмме противоположные стороны равны, потому что диагональ делит его на два треугольника. Эти треугольники равны: у них есть общая диагональ, а углы при параллельных сторонах равны как накрест лежащие. Значит, соответствующие стороны этих треугольников, то есть противоположные стороны параллелограмма, тоже равны.

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Их можно рассматривать как внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей: такие углы дополняют друг друга до развёрнутого угла. Противоположные углы равны, поскольку каждый из них дополняет один и тот же соседний угол до 180°. Так из параллельности сторон следуют отношения между всеми углами.

Прямоугольник, ромб и квадрат получают из общего определения параллелограмма, добавляя новые условия. Если все углы параллелограмма прямые, это прямоугольник; если все стороны равны — ромб. Когда выполнены оба условия, получается квадрат, поэтому он одновременно прямоугольник и ромб, а общие свойства параллелограмма сохраняются.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Действительно, диагонали образуют треугольники по разные стороны от точки пересечения; в них равны накрест лежащие углы, а также вертикальные углы. Сторона между соответствующими углами у этих треугольников общая, поэтому треугольники равны, а их соответствующие части диагоналей равны. Это свойство можно использовать и в обратную сторону: если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, он является параллелограммом.

Четырёхугольники с параллельными сторонами и их свойства

Сначала найдите в таблице нужный вид фигуры, а затем выберите свойство, которое относится к задаче. Пометка «не обязательно» означает, что свойство может выполняться у отдельной фигуры, но не следует из одного её названия. Прямоугольник, ромб и квадрат наследуют свойства параллелограмма.

Разбор задач

Задача 1. У четырёхугольника ABCD стороны AB и CD параллельны, а стороны AD и BC не параллельны. Как называется этот четырёхугольник? Назовите его основания и боковые стороны. Нужно определить количество пар параллельных противоположных сторон, а затем использовать обозначения вершин по порядку.

1. Стороны AB и CD — противоположные, и по условию они параллельны.
2. Вторая пара противоположных сторон, AD и BC, не параллельна. Значит, пара параллельных сторон только одна.
3. Четырёхугольник с одной парой параллельных сторон называется трапецией. Параллельные стороны AB и CD — её основания, а AD и BC — боковые стороны.

Ответ: ABCD — трапеция; основания AB и CD, боковые стороны AD и BC.

Задача 2. В параллелограмме ABCD угол A равен 65°. Найдите углы B, C и D. Сначала установим, какие углы противоположные, а какие соседние: это зависит от порядка вершин. Затем применим равенство противоположных углов и сумму соседних.

1. Угол C противоположен углу A, поэтому ∠C = 65°.
2. Углы A и B соседние. Их сумма равна 180°, значит, ∠B = 180° − 65° = 115°.
3. Угол D также соседний с A, поэтому ∠D = 180° − 65° = 115°. Проверка: противоположные углы B и D равны.

Ответ: ∠B = 115°, ∠C = 65°, ∠D = 115°.

Задача 3. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Обозначим точку пересечения диагоналей O. Условие означает, что AO = OC и BO = OD; покажем, что из этого следуют параллельность противоположных сторон.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. AO = OC и BO = OD по условию, а углы AOB и COD равны как вертикальные.
2. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие углы OAB и OCD равны, а значит, AB параллельна CD.
3. Рассмотрим треугольники AOD и COB. Снова AO = OC, OD = OB, а углы AOD и COB вертикальные. Равенство треугольников даёт равенство соответствующих углов, поэтому AD параллельна BC.
4. Обе пары противоположных сторон параллельны. По определению ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм, так как обе пары его противоположных сторон параллельны.

Типичные ошибки

Ошибка — называть трапецией любой четырёхугольник, у которого обнаружилась пара параллельных сторон. Так можно упустить, что вторая пара тоже параллельна, и тогда фигура будет параллелограммом. Проверьте обе пары противоположных сторон: у трапеции параллельна ровно одна пара.

Иногда путают противоположные и соседние стороны или углы, читая запись ABCD. Это происходит, если не следить за порядком букв: соседние вершины образуют сторону, а вершины через одну соединяет диагональ. Перед решением перечислите стороны по порядку — AB, BC, CD, DA — и отдельно укажите углы при вершинах.

Свойства параллелограмма не всегда верны для трапеции. Например, из определения трапеции не следует, что её противоположные стороны или углы равны, поэтому переносить такие выводы нельзя. Проверяйте, есть ли у фигуры две пары параллельных сторон, прежде чем применять свойства параллелограмма.

Ещё одна ошибка — считать диагонали любого параллелограмма равными. Из общих свойств следует, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, но не то, что их длины одинаковы. Равенство диагоналей есть у прямоугольника; в задаче сверяйте, какое именно свойство дано и к какому виду фигуры оно относится.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение параллельных прямых и знания об углах: прямом, развёрнутом, вертикальных углах и углах при пересечении параллельных прямых секущей. Без них трудно объяснить, почему углы параллелограмма равны или в сумме дают 180°. Также пригодятся обозначения вершин, сторон и диагоналей, а вычисление периметра поможет находить общую длину сторон.

Свойства параллельных сторон и диагоналей помогают доказывать равенство треугольников, а позднее — решать задачи на подобие и площади фигур. Умение замечать равные стороны и углы позволяет строить цепочки доказательств, а не угадывать вид фигуры по рисунку. Эти навыки применяются и в других геометрических задачах.

Что запомнить

• Параллелограмм имеет две пары параллельных противоположных сторон.
• У трапеции одна пара противоположных сторон параллельна.
• В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
• Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами, ромб — параллелограмм с равными сторонами.
• Квадрат является одновременно прямоугольником и ромбом.